Закон о косинусима: примена, примери и вежбе

ТХЕ Цосине Лав користи се за израчунавање мере једне странице или непознатог угла било ког троугла, знајући остале његове мере.

Изјава и формуле

Теорема о косинусима каже да:

"У било ком троуглу, квадрат на једној страни је збир квадрата на друге две странице, умањен за двоструки умножак производа те две странице са косинусом угла између њих.."

Дакле, према закону косинуса имамо следеће односе између страница и углова троугла:

Примери

1. Две странице троугла мере 20 цм и 12 цм и чине угао од 120 ° између њих. Израчунај мерење треће странице.

Решење

За израчунавање мере треће стране користићемо закон косинуса. За ово, размотримо:

б = 20 цм
ц = 12 цм
цос α = цос 120º = - 0,5 (вредност пронађена у тригонометријским табелама).

Замена ових вредности у формули:

Тхе² = 20² + 12² - 2. 20. 12. (- 0,5)
Тхе² = 400 + 144 + 240
Тхе² = 784
а = √784
а = 28 цм

Дакле, трећа страна мери 28 цм.

2. Одредите меру странице АЦ и меру угла са теменом у А на следећој слици:

Прво одредимо АЦ = б:

Б.² = 8² + 10² – 2. 8. 10. цос 50тх
Б.² = 164 – 160. цос 50тх
Б.² = 164 – 160. 0,64279
б ≈ 7,82

Одредимо сада меру угла по закону косинуса:

8² = 10² + 7,82² – 2. 10. 7,82. цос
64 = 161,1524 - 156,4 цос А
цос А = 0,62
 = 52º

Белешка: Да бисмо пронашли вредности косинусних углова користимо Тригонометријска табела. У њему имамо вредности углова од 1º до 90º за сваку тригонометријску функцију (синус, косинус и тангента).

Апликација

Косинусни закон се може применити на било који троугао. Било да су то оштро углови (унутрашњи углови мањи од 90 °), тупо углови (са унутрашњим углом већим од 90 °) или правоугаоници (са унутрашњим углом једнаким 90 °).

Приказивање троуглова у смислу њихових унутрашњих углова

Шта је са правоугаоним троугловима?

Применимо закон косинуса на страну супротну од угла од 90 °, као што је назначено доле:

Тхе² = б² + ц² - 2. Б. ц. цос 90º

Како је цос 90º = 0, горњи израз постаје:

Тхе² = б² + ц²

Што је исто што и израз Питагорина теорема. Дакле, можемо рећи да је ова теорема посебан случај закона косинуса.

Косинусни закон је погодан за проблеме када познајемо две стране и угао између њих и желимо да пронађемо трећу страну.

И даље га можемо користити када знамо три странице троугла и желимо да знамо један од његових углова.

У ситуацијама када знамо два угла и само једну страну и желимо да одредимо другу страну, погодније је користити закон гријеха.

Дефиниција косинуса и синуса

Косинус и синус угла дефинишу се као тригонометријски односи у правоуглом троуглу. Страна насупрот правом углу (90º) назива се хипотенуза, а остале две странице катете, као што је приказано на доњој слици:

Приказ правоуглог троугла и његових страница: бокови и хипотенуза

Тада се косинус дефинише као однос између мерења суседне ноге и хипотенузе:

Синус је, с друге стране, однос између мерења супротне ноге и хипотенузе.

Вежбе пријемног испита

1. (УФСЦар) Ако странице троугла мере к, к + 1 и к +2, онда за било који Икс реалан и већи од 1, косинус највећег унутрашњег угла овог троугла једнак је:

а) к / к + 1
б) к / к + 2
в) к + 1 / к + 2
г) к - 2 / 3к
е) к - 3 / 2к

Погледајте одговор

Алтернатива д) к - 3 / 2к

2. (УФРС) У троуглу представљеном на доњој слици АБ и АЦ имају исту меру, а висина у односу на страницу БЦ једнака је 2/3 мере БЦ.

На основу ових података, косинус угла ЦАБ је:

а) 7/25
б) 7/20
ц) 4/5
д) 5/7
д) 5/6

Погледајте одговор

Алтернатива а) 7/25

3. (УФ-Јуиз де Фора) Две странице троугла мере 8 м и 10 м и чине угао од 60 °. Трећа страница овог троугла мери:

а) 2√21 м
б) 2√31 м
в) 2√41 м
г) 2√51 м
д) 2√61 м

Погледајте одговор

Алтернатива а) 2√21 м

Прочитајте више о теми:

• Тригонометрија
• Тригонометрија у правоугаоном троуглу
• Вежбе тригонометрије у правоуглом троуглу
• Тригонометријски односи
• Тригонометријски круг
• Тригонометријске функције