Sínus, kosínus a dotyčnica sú mená dané trigonometrické pomery. Väčšina problémov týkajúcich sa výpočtov vzdialenosti sa rieši pomocou trigonometria. A preto je veľmi dôležité pochopiť jeho základy, počnúc od správny trojuholník.
Trigonometrické pomery sú tiež veľmi dôležité, pretože sa týkajú meraní na oboch stranách trojuholník s jedným z ostrých uhlov, spájajúci tento vzťah s a Reálne číslo.
Pozrieť viac: Identifikácia kvadrantov trigonometrického cyklu
Vlastnosti pravouhlého trojuholníka
Pravý trojuholník je tvorený a uhol 90 ° (rovný uhol). Ostatné uhly sú menšie ako 90 °, to znamená, že sú ostré, a navyše vieme, že najväčšie strany sú vždy oproti najväčším uhlom. V pravom trojuholníku sa najväčšia strana nazýva prepona a je „pred“ pravým uhlom, volajú sa ďalšie strany zvláštne veci.
V trojuholníku vyššie máme, že strany, ktoré merajú c a b, sú nohy, a strana, ktorá meria a, je prepona. V každom pravom trojuholníku vzťah vedel ako Pytagorova veta je platné.
The2 = b2 + c2
Špeciálne mená bude mať odteraz aj zvláštne logo. Nomenklatúry nôh budú závisieť od referenčného uhla. Ak vezmeme do úvahy uhol modrý na obrázku vyššie, máme stranu, ktorá meria b, je opačná noha, a strana, ktorá je vedľa uhla, to znamená, že miery c je susedná noha.
Sínus
Pred definíciou vzorca pre sínus uhla pochopme myšlienku sínusu. Predstavte si rampu, na ktorej môžeme určiť dôvod medzi výškou a kurzom, nie? Tento pomer sa bude nazývať sínus uhla α.
Teda
hriech α = výška
trasa
kosínus
Analogicky k myšlienke sínus, máme zmysel pre kosínus, avšak v rampe je kosínus pomer medzi vzdialenosťou od zeme a cestou pozdĺž rampy.
Takto:
cos α = odstránenie
trasa
Tečna
Rovnako ako predstavy sínusu a kosínusu, dotyčnica je pomer medzi výškou a vzdialenosťou rampy.
Takto:
tg α = výška
odstránenie
Tangenta nám dáva rýchlosť stúpania.
Prečítajte si tiež: Trigonometria v ľubovoľnom trojuholníku
Vzťah medzi sínusom, kosínom a dotyčnicou
Všeobecne potom môžeme pomocou predchádzajúcich myšlienok definovať sínus, kosínus a tangens v ľubovoľnom pravom trojuholníku. Pozri nižšie:
Najprv vezmem uhol α ako referencia máme:
hriech α = opačná strana = ç
prepona na
cos α = susedný katet = B
prepona na
tg α = opačná strana = ç
Susedná mačka b
Teraz vezmeme uhol β ako referenciu a máme:
hriech β = opačná strana = B
prepona na
cos β = susedný katet = ç
prepona na
tg β = opačná strana = B
priľahlý katéter c
Trigonometrické tabuľky
Existujú tri hodnoty uhlov, ktoré musíme poznať. Sú:
Ostatné hodnoty sú uvedené vo vyhláseniach cvičení alebo ich môžeme skontrolovať v nasledujúcej tabuľke, ale nebojte sa, nie je potrebné ich mať zapamätané (okrem tých, ktoré sú uvedené v predchádzajúcej tabuľke).
Uhol (°) |
sínus |
kosínus |
dotyčnica |
Uhol (°) |
sínus |
kosínus |
dotyčnica |
1 |
0,017452 |
0,999848 |
0,017455 |
46 |
0,71934 |
0,694658 |
1,03553 |
2 |
0,034899 |
0,999391 |
0,034921 |
47 |
0,731354 |
0,681998 |
1,072369 |
3 |
0,052336 |
0,99863 |
0,052408 |
48 |
0,743145 |
0,669131 |
1,110613 |
4 |
0,069756 |
0,997564 |
0,069927 |
49 |
0,75471 |
0,656059 |
1,150368 |
5 |
0,087156 |
0,996195 |
0,087489 |
50 |
0,766044 |
0,642788 |
1,191754 |
6 |
0,104528 |
0,994522 |
0,105104 |
51 |
0,777146 |
0,62932 |
1,234897 |
7 |
0,121869 |
0,992546 |
0,122785 |
52 |
0,788011 |
0,615661 |
1,279942 |
8 |
0,139173 |
0,990268 |
0,140541 |
53 |
0,798636 |
0,601815 |
1,327045 |
9 |
0,156434 |
0,987688 |
0,158384 |
54 |
0,809017 |
0,587785 |
1,376382 |
10 |
0,173648 |
0,984808 |
0,176327 |
55 |
0,819152 |
0,573576 |
1,428148 |
11 |
0,190809 |
0,981627 |
0,19438 |
56 |
0,829038 |
0,559193 |
1,482561 |
12 |
0,207912 |
0,978148 |
0,212557 |
57 |
0,838671 |
0,544639 |
1,539865 |
13 |
0,224951 |
0,97437 |
0,230868 |
58 |
0,848048 |
0,529919 |
1,600335 |
14 |
0,241922 |
0,970296 |
0,249328 |
59 |
0,857167 |
0,515038 |
1,664279 |
15 |
0,258819 |
0,965926 |
0,267949 |
60 |
0,866025 |
0,5 |
1,732051 |
16 |
0,275637 |
0,961262 |
0,286745 |
61 |
0,87462 |
0,48481 |
1,804048 |
17 |
0,292372 |
0,956305 |
0,305731 |
62 |
0,882948 |
0,469472 |
1,880726 |
18 |
0,309017 |
0,951057 |
0,32492 |
63 |
0,891007 |
0,45399 |
1,962611 |
19 |
0,325568 |
0,945519 |
0,344328 |
64 |
0,898794 |
0,438371 |
2,050304 |
20 |
0,34202 |
0,939693 |
0,36397 |
65 |
0,906308 |
0,422618 |
2,144507 |
21 |
0,358368 |
0,93358 |
0,383864 |
66 |
0,913545 |
0,406737 |
2,246037 |
22 |
0,374607 |
0,927184 |
0,404026 |
67 |
0,920505 |
0,390731 |
2,355852 |
23 |
0,390731 |
0,920505 |
0,424475 |
68 |
0,927184 |
0,374607 |
2,475087 |
24 |
0,406737 |
0,913545 |
0,445229 |
69 |
0,93358 |
0,358368 |
2,605089 |
25 |
0,422618 |
0,906308 |
0,466308 |
70 |
0,939693 |
0,34202 |
2,747477 |
26 |
0,438371 |
0,898794 |
0,487733 |
71 |
0,945519 |
0,325568 |
2,904211 |
27 |
0,45399 |
0,891007 |
0,509525 |
72 |
0,951057 |
0,309017 |
3,077684 |
28 |
0,469472 |
0,882948 |
0,531709 |
73 |
0,956305 |
0,292372 |
3,270853 |
29 |
0,48481 |
0,87462 |
0,554309 |
74 |
0,961262 |
0,275637 |
3,487414 |
30 |
0,5 |
0,866025 |
0,57735 |
75 |
0,965926 |
0,258819 |
3,732051 |
31 |
0,515038 |
0,857167 |
0,600861 |
76 |
0,970296 |
0,241922 |
4,010781 |
32 |
0,529919 |
0,848048 |
0,624869 |
77 |
0,97437 |
0,224951 |
4,331476 |
33 |
0,544639 |
0,838671 |
0,649408 |
78 |
0,978148 |
0,207912 |
4,70463 |
34 |
0,559193 |
0,829038 |
0,674509 |
79 |
0,981627 |
0,190809 |
5,144554 |
35 |
0,573576 |
0,819152 |
0,700208 |
80 |
0,984808 |
0,173648 |
5,671282 |
36 |
0,587785 |
0,809017 |
0,726543 |
81 |
0,987688 |
0,156434 |
6,313752 |
37 |
0,601815 |
0,798636 |
0,753554 |
82 |
0,990268 |
0,139173 |
7,11537 |
38 |
0,615661 |
0,788011 |
0,781286 |
83 |
0,992546 |
0,121869 |
8,144346 |
39 |
0,62932 |
0,777146 |
0,809784 |
84 |
0,994522 |
0,104528 |
9,514364 |
40 |
0,642788 |
0,766044 |
0,8391 |
85 |
0,996195 |
0,087156 |
11,43005 |
41 |
0,656059 |
0,75471 |
0,869287 |
86 |
0,997564 |
0,069756 |
14,30067 |
42 |
0,669131 |
0,743145 |
0,900404 |
87 |
0,99863 |
0,052336 |
19,08114 |
43 |
0,681998 |
0,731354 |
0,932515 |
88 |
0,999391 |
0,034899 |
28,63625 |
44 |
0,694658 |
0,71934 |
0,965689 |
89 |
0,999848 |
0,017452 |
57,28996 |
45 |
0,707107 |
0,707107 |
1 |
90 |
1 |
Tiež vedieť: Sekans, kosekans a kotangens
vyriešené cviky
Otázka 1 - Určte hodnotu xay v nasledujúcom trojuholníku.
Riešenie:
Na trojuholníku uvidíte, že daný uhol bol 30 °. Stále sa pozeráme na trojuholník a máme stranu, ktorá meria X to je opačná noha pod uhlom 30 ° a so stranou, ktorá meria r to je susedná noha pod uhlom 30 °. Musíme teda hľadať trigonometrický pomer, ktorý súvisí s tým, čo hľadáme, s tým, čo je dané (prepona). Čoskoro:
hriech 30 ° = opačná strana
Hypotenziu
cos 30 ° = susedný katet
Hypotenziu
Určená hodnota x:
hriech 30 ° = opačná strana
Hypotenziu
hriech 30 ° = X
2
Pri pohľade na tabuľku musíme:
hriech 30 ° = 1
2
Dosadením do rovnice budeme mať:
1 = X
2 2
x = 1
Podobne zvážime
Takto:
Pretože 30 ° = √3
2
cos 30 ° = susedný katet
Hypotenziu
cos 30 ° = Y.
2
√3 = Y.
2 2
y = √3
otázka 2 - (PUC-SP) Aká je hodnota x na nasledujúcom obrázku?
Riešenie:
Pri pohľade na väčší trojuholník si všimnite, že y je oproti 30 ° uhlu a že 40 je prepona, to znamená, že môžeme použiť trigonometrický sínusový pomer.
hriech 30 ° = Y.
40
1 = Y.
2 40
2 r = 40
y = 20
Teraz sa pozrieme na menší trojuholník a uvidíme, že máme hodnotu opačnej strany a hľadáme hodnotu x, ktorá je susednou stranou. Trigonometrický vzťah zahŕňajúci tieto dve nohy je dotyčnica. Takto:
tg 60 ° = 20
X
√3= 20
X
√3 x = 20
x = 20 · √3
√3 √3
x = 20√3
3
Robson Luiz
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm
