Vlastnosti zahŕňajúce komplexné čísla

Všetky existujúce čísla boli vytvorené podľa ľudských potrieb v čase vzniku, ako je to v prípade prirodzených čísel, ktoré boli vytvorené na počítanie a kontrolu "zásob" a iracionálnych čísel, ktoré boli stanovené na riešenie problémov vo vzťahu k korene. Boli to práve problémy týkajúce sa koreňov, ktoré začali vedomosti o komplexné čísla.

Kvadratická rovnica x2 + 4x + 5 = 0 nemá skutočné korene. To znamená, že v rámci množiny reálnych čísel nie je možné nájsť hodnoty pre x, ktoré by sa rovnali prvému členu tejto rovnice k druhému. Pozorujeme tento jav od začiatku Bhaskarovej formule:

Δ = 42 – 4·1·5

Δ = 16 – 20

Δ = – 4

Keď sa pre Δ zistí záporná hodnota, je nemožné pokračovať v Bhaskarovom vzorci, pretože vyžaduje výpočet √Δ (odmocnina z delty). Teraz vieme, že √– 4 nemožno vypočítať, pretože neexistuje skutočné číslo, ktoré by samo o sebe vynásobilo - 4.

Na splnenie týchto potrieb boli vytvorené komplexné čísla. Od svojho vzniku možno √– 4 vyvinúť nasledovne:

√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)

A √ (- 1) sa chápe ako nový typ čísla. Množina všetkých týchto čísel je známa ako množina komplexných čísel a každý zástupca tejto novej množiny je definovaný takto: Nech A je komplexné číslo, potom,

A = The + Bi, kde Thea B sú reálne čísla a i = √ (- 1)

V tejto definícii The Je známy ako skutočná časť A a B Je známy ako imaginárna časť A.

Vlastnosti komplexných čísel

Skutočné čísla predstavujú v celom rozsahu a geometricky čiaru. Komplexné čísla zase predstavujú celú rovinu. Karteziánska rovina používaná na reprezentáciu komplexných čísel je známa ako Argand-Gaussova rovina.

Každé komplexné číslo môže byť v Argand-Gaussovej rovine znázornené ako bod súradníc (a, b). Vzdialenosť od bodu predstavujúceho komplexné číslo k bodu (0,0) sa nazýva modul komplexného čísla., ktorý je definovaný:

Nech A = a + bi je komplexné číslo, jeho modul je | A | = a2 + b2

Komplexné čísla majú aj inverzný prvok, ktorý sa nazýva konjugát. Je definovaný ako:

Nech A = a + bi je komplexné číslo,

Ā = a - bi je konjugát tohto čísla.

Majetok 1: Súčin komplexného čísla a jeho konjugát sa rovná súčtu druhých mocnín reálnej časti a imaginárnej časti komplexného čísla. Matematicky:

AĀ = a2 + b2

Príklad: Aký je produkt A = 2 + 5i podľa jeho konjugátu?

Stačí urobiť výpočet: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Keby sme sa rozhodli napísať konjugát A a potom vykonať násobenie AĀ, mali by sme:

AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)

AĀ = 4 - 10i + 10i + 25

AĀ = 4 + 25

AĀ = 29

To znamená, že pomocou navrhovanej vlastnosti je možné vyhnúť sa dlhým výpočtom a chybám počas týchto výpočtov.

Majetok 2: Ak sa komplexné číslo A rovná jeho konjugátu, potom A je skutočné číslo.

Nech A = a + bi. Ak A = Ā, potom:

a + bi = a - bi

bi = - bi

b = - b

Preto b = 0

Preto je povinné, aby každé komplexné číslo, ktoré sa rovná jeho konjugátu, bolo tiež skutočným číslom.

Majetok 3: Konjugát súčtu dvoch komplexných čísel sa rovná súčtu konjugátov týchto čísel., to znamená:

_____ _ _ 
A + B = A + B

Príklad: Aký je konjugát súčtu 7 + 9i a 2 + 4i?

____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i

Najprv môžete pridať a potom vypočítať konjugát výsledku alebo najskôr urobiť konjugáty a potom pridať výsledky neskôr.

Majetok 4: Konjugát produktu medzi dvoma komplexnými číslami sa rovná produktu ich konjugátov, tj:

__ _ _
AB = A · B

Príklad: Aký je produkt konjugátov A = 7i + 10 a B = 4 + 3i?

(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i

Podľa potreby cvičenia je možné najskôr sa množiť a potom vypočítať konjugát alebo zobraziť konjugáty pred vykonaním násobenia.

Majetok 5: Súčin komplexného čísla A a jeho konjugátu sa rovná druhej mocnine modulu modulu A, tj:

AĀ = | A |2

Príklad: A = 2 + 6i, potom AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Upozorňujeme, že nie je potrebné nájsť konjugát a vykonať množenie prostredníctvom distribučnej vlastnosti násobenia nad sčítaním (známej ako malá sprchová hlavica).

Nehnuteľnosť 6: Modul komplexného čísla sa rovná modulu jeho konjugátu. Inými slovami:

| A | = | Ā |

Príklad: Nájdite modul konjugátu komplexného čísla A = 3 + 4i.

Upozorňujeme, že nie je potrebné nájsť konjugát, pretože moduly sú rovnaké.

| A | = √ (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5

Ak by sa vypočítali | Ā |, jedinou zmenou by bola a B negatívne na druhú, čo má pozitívny výsledok. Výsledok by teda stále bol koreňom 25.

Majetok 7: Ak sú A a B komplexné čísla, potom sa súčin modulu A a B rovná modulu súčinu A a B., t.j.:

| AB | = | A || B |

Príklad: Nech A = 6 + 8i a B = 4 + 3i, koľko je | AB |?

Pred výpočtom modulu nie je potrebné vynásobiť zložité čísla. Je možné vypočítať modul každého komplexného čísla osobitne a potom iba vynásobiť výsledky.

| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10

| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5

| AB | = | A || B | = 10,5 = 50


Autor: Luiz Paulo Moreira
Vyštudoval matematiku

Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm

Naučte sa pestovať mini ruže v interiéri bez väčších problémov

Mnohí milujú ruže a vedia, aká krásna je táto kvetina a vyžaduje si istú starostlivosť a predovše...

read more
7 plemien psov, ktoré boli úspešné pred niekoľkými rokmi; Poznáte ich všetky?

7 plemien psov, ktoré boli úspešné pred niekoľkými rokmi; Poznáte ich všetky?

Počas minulého storočia sa medzi ľuďmi stali obľúbené rôzne plemená psov pre ich rôznorodé vlastn...

read more

Povedal, že našiel lásku svojho života, ale objavil tragické tajomstvo

Hľadanie a pravá láska je to univerzálna túžba, hlboké spojenie, pri ktorom nám srdce bije rýchle...

read more