Všetky existujúce čísla boli vytvorené podľa ľudských potrieb v čase vzniku, ako je to v prípade prirodzených čísel, ktoré boli vytvorené na počítanie a kontrolu "zásob" a iracionálnych čísel, ktoré boli stanovené na riešenie problémov vo vzťahu k korene. Boli to práve problémy týkajúce sa koreňov, ktoré začali vedomosti o komplexné čísla.
Kvadratická rovnica x2 + 4x + 5 = 0 nemá skutočné korene. To znamená, že v rámci množiny reálnych čísel nie je možné nájsť hodnoty pre x, ktoré by sa rovnali prvému členu tejto rovnice k druhému. Pozorujeme tento jav od začiatku Bhaskarovej formule:
Δ = 42 – 4·1·5
Δ = 16 – 20
Δ = – 4
Keď sa pre Δ zistí záporná hodnota, je nemožné pokračovať v Bhaskarovom vzorci, pretože vyžaduje výpočet √Δ (odmocnina z delty). Teraz vieme, že √– 4 nemožno vypočítať, pretože neexistuje skutočné číslo, ktoré by samo o sebe vynásobilo - 4.
Na splnenie týchto potrieb boli vytvorené komplexné čísla. Od svojho vzniku možno √– 4 vyvinúť nasledovne:
√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·22 = 2√(– 1)
A √ (- 1) sa chápe ako nový typ čísla. Množina všetkých týchto čísel je známa ako množina komplexných čísel a každý zástupca tejto novej množiny je definovaný takto: Nech A je komplexné číslo, potom,
A = The + Bi, kde Thea B sú reálne čísla a i = √ (- 1)
V tejto definícii The Je známy ako skutočná časť A a B Je známy ako imaginárna časť A.
Vlastnosti komplexných čísel
Skutočné čísla predstavujú v celom rozsahu a geometricky čiaru. Komplexné čísla zase predstavujú celú rovinu. Karteziánska rovina používaná na reprezentáciu komplexných čísel je známa ako Argand-Gaussova rovina.
Každé komplexné číslo môže byť v Argand-Gaussovej rovine znázornené ako bod súradníc (a, b). Vzdialenosť od bodu predstavujúceho komplexné číslo k bodu (0,0) sa nazýva modul komplexného čísla., ktorý je definovaný:
Nech A = a + bi je komplexné číslo, jeho modul je | A | = a2 + b2
Komplexné čísla majú aj inverzný prvok, ktorý sa nazýva konjugát. Je definovaný ako:
Nech A = a + bi je komplexné číslo,
Ā = a - bi je konjugát tohto čísla.
Majetok 1: Súčin komplexného čísla a jeho konjugát sa rovná súčtu druhých mocnín reálnej časti a imaginárnej časti komplexného čísla. Matematicky:
AĀ = a2 + b2
Príklad: Aký je produkt A = 2 + 5i podľa jeho konjugátu?
Stačí urobiť výpočet: a2 + b2 = 22 + 52 = 4 + 25 = 29. Keby sme sa rozhodli napísať konjugát A a potom vykonať násobenie AĀ, mali by sme:
AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)
AĀ = 4 - 10i + 10i + 25
AĀ = 4 + 25
AĀ = 29
To znamená, že pomocou navrhovanej vlastnosti je možné vyhnúť sa dlhým výpočtom a chybám počas týchto výpočtov.
Majetok 2: Ak sa komplexné číslo A rovná jeho konjugátu, potom A je skutočné číslo.
Nech A = a + bi. Ak A = Ā, potom:
a + bi = a - bi
bi = - bi
b = - b
Preto b = 0
Preto je povinné, aby každé komplexné číslo, ktoré sa rovná jeho konjugátu, bolo tiež skutočným číslom.
Majetok 3: Konjugát súčtu dvoch komplexných čísel sa rovná súčtu konjugátov týchto čísel., to znamená:
_____ _ _
A + B = A + B
Príklad: Aký je konjugát súčtu 7 + 9i a 2 + 4i?
____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i
Najprv môžete pridať a potom vypočítať konjugát výsledku alebo najskôr urobiť konjugáty a potom pridať výsledky neskôr.
Majetok 4: Konjugát produktu medzi dvoma komplexnými číslami sa rovná produktu ich konjugátov, tj:
__ _ _
AB = A · B
Príklad: Aký je produkt konjugátov A = 7i + 10 a B = 4 + 3i?
(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i
Podľa potreby cvičenia je možné najskôr sa množiť a potom vypočítať konjugát alebo zobraziť konjugáty pred vykonaním násobenia.
Majetok 5: Súčin komplexného čísla A a jeho konjugátu sa rovná druhej mocnine modulu modulu A, tj:
AĀ = | A |2
Príklad: A = 2 + 6i, potom AĀ = | A |2 = (√a2 + b2)2 = (√22 + 62)2 = 22 + 62 = 4 + 16 = 20. Upozorňujeme, že nie je potrebné nájsť konjugát a vykonať množenie prostredníctvom distribučnej vlastnosti násobenia nad sčítaním (známej ako malá sprchová hlavica).
Nehnuteľnosť 6: Modul komplexného čísla sa rovná modulu jeho konjugátu. Inými slovami:
| A | = | Ā |
Príklad: Nájdite modul konjugátu komplexného čísla A = 3 + 4i.
Upozorňujeme, že nie je potrebné nájsť konjugát, pretože moduly sú rovnaké.
| A | = √ (a2 + b2)= √(32 + 42) = √(9 + 16) = √25 = 5
Ak by sa vypočítali | Ā |, jedinou zmenou by bola a B negatívne na druhú, čo má pozitívny výsledok. Výsledok by teda stále bol koreňom 25.
Majetok 7: Ak sú A a B komplexné čísla, potom sa súčin modulu A a B rovná modulu súčinu A a B., t.j.:
| AB | = | A || B |
Príklad: Nech A = 6 + 8i a B = 4 + 3i, koľko je | AB |?
Pred výpočtom modulu nie je potrebné vynásobiť zložité čísla. Je možné vypočítať modul každého komplexného čísla osobitne a potom iba vynásobiť výsledky.
| A | = √ (62 + 82) = √(36 + 64) = √100 = 10
| B | = √ (42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
| AB | = | A || B | = 10,5 = 50
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vyštudoval matematiku
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm