Mnohostena (z latinčiny poly - veľa - a hedron - tvár) sú figúrkytrojrozmerný vytvorené spojením pravidelných mnohouholníkov, v ktorých sú všetky polyedrické uhly zhodné. Spojenie týchto mnohouholníkov vytvára prvky, ktoré tvoria mnohosten, sú to: vrcholy, hrany a tváre. Nie každá trojrozmerná postava však je mnohosten, príkladom toho sú figúry, ktoré majú zakrivené tváre zvané okrúhle telá.
Existuje matematický vzorec, ktorý spája prvky mnohostena s názvom Eulerov vzťah. Okrem toho sa mnohosteny delia na dve skupiny: takzvané mnohosteny konvexný a nie konvexné. Niektoré mnohosteny si zaslúžia osobitnú pozornosť, hovorí sa im Platónov polyhedra: štvorsten, šesťuholník, osemstena, dodecahedron a ikosahedrón.
Prečítajte si tiež: Rozdiely medzi plochými a priestorovými údajmi
konvexná mnohostena
Mnohosten bude konvexný, keď ho vytvorí mnohouholníky konvexné, aby boli akceptované nasledujúce podmienky:
- dva z polygónov Nikdy sú koplanárne, to znamená, že nepatria do rovnakej roviny.
- Každá strana jedného z týchto polygónov patrí iba dvom polygónom.
- Rovina, ktorá obsahuje ktorýkoľvek z týchto polygónov, ponecháva ostatné polygóny v rovnakom polopriestore.
Prečítajte si tiež:Súčet vnútorných a vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka
Prvky konvexného mnohostena
Zvážte tento konvexný mnohosten:
Vy štvoruholníky na obrázku sú tzv tváre mnohostena.
Vy päťuholníky sú tváre a základ mnohostena, ktorý je pomenovaný päťuholníkový základný mnohosten.
Volajú sa segmenty, ktoré tvoria každú z tvárí hrany mnohostena.
Body, kde sa stretávajú hrany, sa nazývajú vrcholy.
Bude sa volať úsečka JC uhlopriečka mnohostena označená:
Rozumieme, že JC je jednou z uhlopriečok uhlopriečka mnohostena ako bytia úsečka, ktorá spája dva vrcholy nepatriace k tej istej ploche.
Máme tiež mnohostenný uhol, tvorený medzi okrajmi, označený:
Mnohostenný uhol sa nazýva a trihedrálny Kedy tri hrany pochádzajú z vrcholu. Rovnako sa to nazýva štvorboký, prípade štyri hrany pochádzajú z vrcholu atď.
Odteraz zavedieme niektoré notácie, ktoré sú:
Vedieť viac: Plánovanie geometrických telies
Vlastnosti konvexného mnohostena
Nehnuteľnosť 1
Súčet hrán všetkých tvárí sa rovná dvojnásobku počtu hrán mnohostena.
Príklad
Mnohosten má 6 štvorcových plôch. Určíme počet hrán.
Podľa vlastnosti stačí vynásobiť počet hrán tváre počtom tvárí, a to sa rovná dvojnásobku počtu hrán. Takto:
Nehnuteľnosť 2
Súčet vrcholov všetkých plôch sa rovná súčtu hrán všetkých plôch, ktorý sa rovná dvojnásobku počtu hrán.
Príklad
Mnohosten s 5 štvorbokými uhlami a 4 šesťbokými uhlami. Určíme počet hrán.
Analogicky k predchádzajúcemu príkladu druhá vlastnosť hovorí, že súčet okrajov všetkých tvárí sa rovná dvojnásobku počtu okrajov. Počet hrán je daný súčinom 5 krát 4 a 4 krát 6, pretože sú to 5 štvorboké a 4 šesťhranné uhly. Takto:
Konkávne (nekonvexné) mnohosteny
Mnohosten je nekonvexný alebo konkávny, keď vezmeme dva body na rôznych plochách a na priamke r ktorý obsahuje tieto body, nie je všetko obsiahnuté v mnohostene.
Upozorňujeme, že rovná čiara (modrou farbou) nie je v mnohostene úplná, takže mnohosten (v ružovej farbe) je konkávny alebo nekonvexný.
pravidelná mnohostena
Hovoríme, že mnohosten je pravidelný, keď vaše tváre sú pravidelné polygóny navzájom rovnaké a s polyhedrálnymi uhlami rovnakými.
Zopár príkladov:
Všimnite si, že všetky vaše tváre sú pravidelné polygóny. Jeho tváre sú tvorené štvorcami a všetky okraje sú rovnaké, to znamená, že majú rovnakú mieru.
čítaťtiež: Čo sú to pravidelné a konvexné mnohouholníky?
Eulerov vzťah
Taktiež známy ako Eulerova veta, výsledok dokázal Leonhard Euler (1707 - 1783) a zaručuje, že v r všetko uzavretý konvexný mnohosten platí nasledujúci vzťah:
Platónov polyhedra
Akýkoľvek mnohosten, ktorý spĺňa nasledujúce podmienky, sa nazýva Platónov polyhedron:
Eulerov vzťah je platný
Všetky tváre majú rovnaký počet hrán
Všetky polyedrické uhly majú rovnaký počet hrán
Je dokázané, že existuje iba päť pravidelných a konvexných mnohostenov alebo Platónových mnohostenov:
pravidelný štvorsten
štvorsten má 4 trojuholníkové tváre zhodný a 4 trihedrálne uhly zhodný.
pravidelný šesťuholník
šesťuholník má 6 štvorcových tvárí zhodný a 8 trojstenných uhlov zhodný.
pravidelný osemsten
oktaédr má 8 trojuholníkových tvárí zhodný a 6 štvorbokých uhlov zhodný.
pravidelný dvanásťsten
dodecahedron má 12 päťuholníkových tvárí zhodný a 20 uhlovtrihedrálny zhodný.
pravidelný ikosahedrón
Ikosahedrón má 20 trojuholníkových tvárí zhodný a 12 päťbokých uhlov zhodný.
vyriešené cviky
1) (Enem) Klenot bol vyrezaný vo forme konvexného mnohostena s 32 tvárami, z ktorých 20 je šesťuholník a zvyšok päťuholník. Tento šperk bude darčekom pre dámu, ktorá oslavuje svoje narodeniny a završuje vek, ktorého počet je počet vrcholov tohto mnohostena. Táto dáma dokončuje:
a) 90 rokov
b) 72 rokov
c) 60 rokov
d) 56 rokov
e) 52 rokov
Riešenie:
Dáva majetok 1 konvexných mnohostenov vieme, že:
Teraz ako poznáme počet hrán to je počet tvárí, môžeme použiť Eulerov vzťah.
Pretože vek, ktorý dokončujete, sa rovná počtu vrcholov, je to 60 rokov. Alternatíva c.
2) (PUC-SP) Koľko hrán má konvexný mnohosten s trojuholníkovými plochami, kde počet vrcholov je tri pätiny počtu tvárí?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
Riešenie:
Z vlastností konvexného mnohostena a výroku o cvičení máme:
Dosadením týchto hodnôt do Eulerovho vzťahu máme nasledujúce:
Z usporiadania predchádzajúcej rovnice a riešenia rovnice v bode F vyplýva, že:
Dosadením hodnoty počtu tvárí nájdených v rovnici hrán budeme mať:
Alternatíva b
Robson Luiz
Učiteľ matematiky
