Trigonometrické rovnice sú rovnosti, ktoré zahŕňajú trigonometrické funkcie neznámych oblúkov. Riešenie týchto rovníc je jedinečný proces, ktorý využíva techniky redukcie na jednoduchšie rovnice. Poďme sa zaoberať pojmami a definíciami rovníc vo forme cosx = a.
Trigonometrické rovnice v tvare cosx = α majú riešenia v intervale –1 ≤ x ≤ 1. Určenie hodnôt x, ktoré vyhovujú tomuto typu rovnice, sa riadi nasledujúcou vlastnosťou: Ak majú dva oblúky rovnaké kosínusy, potom sú zhodné alebo sa dopĺňajú..
Nech x = α je riešením rovnice cos x = α. Ďalším možným riešením sú oblúky zhodné s oblúkom α alebo s oblúkom - α (alebo s oblúkom 2π - α). Takže: cos x = cos α. Všimnite si zastúpenie v trigonometrickom cykle:
Dospeli sme k záveru, že:
x = α + 2kπ, s k Є Z alebo x = - α + 2kπ, s k Є Z
Príklad 1
Vyriešte rovnicu: cos x = √2 / 2.
Z tabuľky trigonometrických pomerov zodpovedá que2 / 2 uhlu 45 °. Potom:
cos x = √2 / 2 → cos x = π / 4 (π / 4 = 180 ° / 4 = 45 °)
Takže rovnica cosx = √2 / 2 má ako riešenie všetky oblúky zhodné s oblúkom π / 4 alebo –π / 4 alebo dokonca 2π - π / 4 = 7π / 4. Všimnite si ilustráciu:
Teraz neprestávajte... Po reklame je toho viac;)
Dospeli sme k záveru, že možné riešenia rovnice cos x = √2 / 2 sú:
x = π / 4 + 2kπ, s k Є Z alebo x = - π / 4 + 2kπ, s k Є Z
Príklad 2
Vyriešte rovnicu: cos 3x = cos x
Keď sú oblúky 3x a x zhodné:
3x = x + 2kπ
3x - x = 2kπ
2x = 2kπ
x = kπ
Keď sú oblúky 3x a x komplementárne:
3x = –x + 2kπ
3x + x = 2kπ
4x = 2kπ
x = 2kπ / 4
x = kπ / 2
Riešením rovnice cos 3x = cos x je {x Є R / x = kπ alebo x = kπ / 2, s k Є Z}.
od Marka Noaha
Vyštudoval matematiku
Prajete si odkaz na tento text v školskej alebo akademickej práci? Pozri:
SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Rovnice typu cos x = a"; Brazílska škola. Dostupné v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacoes-tipo-cos-x-a.htm. Prístup k 27. júnu 2021.
