Zákon o hriechoch: aplikácia, príklad a cvičenia

THE zákon hriechov určuje, že v ktoromkoľvek trojuholníku je sínusový vzťah uhla vždy úmerný miere strany ležiacej oproti tomuto uhlu.

Táto veta demonštruje, že v rovnakom trojuholníku bude vždy pomer medzi hodnotou jednej strany a sínusom jej opačného uhla konštantný.

Pre trojuholník ABC so stranami a, b, c teda zákon hriechov pripúšťa tieto vzťahy:

Zastúpenie Zákonov hriechov v trojuholníku

Príklad

Pre lepšie pochopenie vypočítajme mieru strán AB a BC tohto trojuholníka ako funkciu miery b strany AC.

Podľa zákona sínusov môžeme vytvoriť nasledujúci vzťah:

Preto AB = 0,816b a BC = 1,115b.

Poznámka: Hodnoty sínusov boli konzultované v tabuľka trigonometrických pomerov. V ňom nájdeme hodnoty uhlov od 1 ° do 90 ° každej trigonometrickej funkcie (sínus, kosínus a tangens).

Pri trigonometrických výpočtoch sa najviac používajú uhly 30 °, 45 ° a 60 °. Preto sa im hovorí pozoruhodné uhly. Pozrite sa na tabuľku s nasledujúcimi hodnotami:

Trigonometrické vzťahy	30°	45°	60°
Sínus	1/2	√2/2	√3/2
kosínus	√3/2	√2/2	1/2
Tečna	√3/3	1	√3

instagram story viewer

Uplatňovanie zákona o hriechoch

Sínusový zákon používame v ostrých trojuholníkoch, kde vnútorné uhly sú menšie ako 90 ° (akútne); alebo v tupých trojuholníkoch, ktoré majú vnútorné uhly väčšie ako 90 ° (tupé). V týchto prípadoch môžete tiež použiť Kosínový zákon.

Hlavným cieľom použitia Zákona hriechov alebo kosínusov je objavenie rozmerov strán trojuholníka a tiež jeho uhlov.

Reprezentácia trojuholníkov podľa ich vnútorných uhlov

A zákon hriechov v obdĺžnikovom trojuholníku?

Ako už bolo spomenuté vyššie, Zákon hriechov sa používa v ostrých aj tupých trojuholníkoch.

V pravých trojuholníkoch, ktoré tvoria vnútorný uhol 90 ° (rovný), sme použili Pytagorovu vetu a vzťahy medzi jej stranami: opačnou, susednou stranou a preponou.

Reprezentácia pravého trojuholníka a jeho strán

Táto veta má toto tvrdenie: „súčet štvorcov ich nôh zodpovedá štvorcu ich prepočtu". Jeho vzorec je vyjadrený:

H² = asi²+ spol²

Keď teda máme pravý trojuholník, sínus bude pomerom medzi dĺžkou opačnej nohy a dĺžkou prepony:

Na prepone je napísané opačne.

Kosínus zodpovedá pomeru medzi dĺžkou susednej nohy a dĺžkou prepony, ktorú predstavuje výraz:

Číta sa susedne s preponou.

Cvičenie na prijímaciu skúšku

1.(UFPB) Radnica určitého mesta postaví cez rieku, ktorá pretína toto mesto, most, ktorý musí byť rovný a spojí dva body A a B umiestnené na opačných brehoch rieky. Na meranie vzdialenosti medzi týmito bodmi lokalizoval geodet tretí bod C, 200 m od bodu A a na rovnakom brehu rieky ako bod A. Pomocou teodolitu (presný prístroj na meranie horizontálnych a vertikálnych uhlov, ktorý sa často používa pri topografických prácach), geodet spozoroval, že uhly B C s horným indexom logickej spojky A priestor a priestor C A s horným indexom logickej spojky B 30 ° a 105 °, ako je znázornené na nasledujúcom obrázku.

Na základe týchto informácií je správne konštatovať, že vzdialenosť v metroch od bodu A do bodu B je:

pravá zátvorka medzera 200 druhá odmocnina z 2 koncového priestoru koreňa b medzera pravá zátvorka 180 druhá odmocnina 2 koncový priestor koreňa c zátvorka pravá medzera 150 druhá odmocnina z 2 medzery d medzera pravej zátvorky 100 druhá odmocnina z 2 medzery a medzera pravej zátvorky 50 druhá odmocnina z 2

Pozri odpoveď

R e s p ost a medzera c o r e t a dvojbodka medzera d pravá zátvorka medzera 100 druhá odmocnina z 2

cieľ: Určite mieru AB.

Myšlienka 1 - Zákon hriechov, ktorý určuje AB

Obrázok vytvára trojuholník ABC, kde strana AC meria 200 m a máme dva určené uhly.

je uhol B s horným indexom logickej spojky oproti strane AC 200 m a uhle C proti strane AB môžeme určiť AB cez hriechový zákon.

čitateľ A B nad menovateľom s a n medzera 30 stupňové znamienko koniec zlomkovej medzery rovnaké ako medzera čitateľ A C o menovateľovi s a n medzera štart štýl show B s logickou spojkou horný index koniec štýl koniec zlomok

THE hriechový zákon určuje, že pomery medzi rozmermi strán a sínusov opačných uhlov, zodpovedajúcich týmto stranám, sú rovnaké v rovnakom trojuholníku.

Nápad 2 - určite uhol

Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180 °, takže môžeme určiť uhol B.

B + 105 ° + 30 ° = 180 °
B = 180 ° - 105 ° - 30 °
B = 45 °

Nahradenie hodnoty B s horným indexom logickej spojky v sínovom zákone a pri výpočtoch.

čitateľ A B medzera nad menovateľom s a n medzera 30 stupňová značka koniec zlomku medzera rovná čitateľovi medzera A C nad menovateľ medzera s a n medzera B koniec čitateľa zlomku A B medzera nad menovateľom s a medzera 30 stupňov značka koniec zlomku medzera rovná sa čitateľovi medzera A C nad menovateľ medzera s e n medzera znak 45 stupňov koniec čitateľa zlomku A B medzera nad menovateľom začiatočný štýl ukázať 1 polovičný koniec štýlu koniec zlomku medzery rovný čitateľský priestor A C nad menovacím priestorom začiatočný štýl zobraziť čitateľovú druhú odmocninu z 2 nad menovateľom 2 koniec zlomku koniec štýlu koniec zlomku 2 A B medzera rovná čitateľovi 2 A C nad druhá odmocnina menovateľa 2 konca zlomku A B medzera rovná čitateľovi A C nad druhá odmocnina menovateľa 2 koniec zlomku

Všimnite si, že v menovateli je druhá odmocnina. Zoberme si tento koreň racionalizáciou, ktorá je násobením menovateľa aj čitateľa zlomku samotným koreňom.

A B medzera rovná čitateľovi A C nad druhou mocninou druhej odmocniny 2 konca zlomkovej medzery rovná čitateľovi medzery A C medzera. druhá odmocnina priestoru 2 nad menovateľom druhá odmocnina 2 priestoru. druhá odmocnina priestoru 2 konca zlomku priestoru rovná sa priestoru čitateľa A priestor C. druhá odmocnina z 2 nad menovateľom druhá odmocnina zo 4 koniec zlomku medzera rovná čitateľovi medzera A C medzera. druhá odmocnina priestor 2 nad menovateľom 2 koniec zlomku

Nahradením hodnoty AC máme:

B medzera rovná sa čitateľovi priestoru 200 medzera. druhá odmocnina z 2 nad menovateľom 2 koniec zlomku medzera rovná sa k priestoru 100 druhá odmocnina z 2

Preto vzdialenosť medzi bodmi A a B je 100 druhá odmocnina z 2 m priestoru .

2. (Mackenzie - SP) Tri ostrovy A, B a C sa zobrazujú na mape v mierke 1: 10 000, ako je to znázornené na obrázku. Z alternatív je možné najlepšie priblížiť vzdialenosť medzi ostrovmi A a B:

a) 2,3 km
b) 2,1 km
c) 1,9 km
d) 1,4 km
e) 1,7 km

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: e) 1,7 km

Cieľ: Určiť mieru segmentu AB.

Myšlienka 1: Pomocou sínusového zákona nájdite mieru AB

Zákon hriechov: Merania strán trojuholníka sú úmerné sínusom ich opačných uhlov.

čitateľ 12 nad menovateľom s a n medzera 30 koniec zlomku medzera rovná sa medzera čitateľ A B nad menovateľ medzery s a n medzera začiatok štýlu show C s logickou spojkou horný index koniec štýl koniec vesmírny zlomok

Myšlienka 2: určiť uhol

Súčet vnútorných uhlov trojuholníka sa rovná 180º.

30 + 105 + C = 180
135 + C = 180
C = 180 - 135
C = 45

Myšlienka 3: Použite hodnotu C v sínusovom práve

čitateľ 12 nad menovateľom s a n medzera 30 koniec zlomku medzera rovná sa medzera čitateľ A B nad menovateľ medzera s a n medzera začiatok štýlu ukázať 45 koniec štýlu koniec zlomku medzera 12 medzera. priestor s a n priestor 45 priestor sa rovná priestoru A B priestor. priestor s a n priestor 30 12 priestor. čitateľ medzery druhá odmocnina z 2 nad menovateľom 2 koniec zlomku medzera rovná sa medzera A B medzera. medzera 1 stredná 6 druhá odmocnina z 2 medzery rovnej čitateľovi A B nad menovateľom 2 koniec zlomku 12 druhá odmocnina z 2 medzery rovné medzere A B

Myšlienka 4: priblížte druhú odmocninu a použite stupnicu

Tvorba druhá odmocnina zo 4 približne rovnaká medzera 1 čiarka 4

12. 1,4 = 16,8

Stupnica hovorí 1: 10 000, vynásobením:

16,8. 10 000 = 168 000 cm

Nápad 5: presun z cm na km

168 000 cm / 100 000 = 1,68 km

Záver: Pretože vypočítaná vzdialenosť je 1,68 km, najbližšou alternatívou je písmeno e.

Poznámka: Ak chcete ísť z cm na km, vydelíme ich 100 000, pretože na nasledujúcej stupnici od centimetrov do km počítame 5 miest vľavo.

km -5- hm -4- priehrada -3- m -2- dm -1- cm mm

3. (Unifor-CE) Je známe, že v každom trojuholníku je miera každej strany priamo úmerná sínusu uhla oproti. Na základe týchto informácií sa dospelo k záveru, že miera strany AB trojuholníka znázorneného nižšie je: