Je známy ako a racionálne číslo každé číslo možno reprezentovať ako neredukovateľnú frakciu. V priebehu histórie ľudstva sa myšlienka čísla postupne rozvíjala v súlade s ľudskými potrebami. Reprezentácia čísel vo zlomkoch napríklad riešila úlohy, ktoré sa riešili iba pomocou celé čísla.
Racionálne číslo je možné reprezentovať zo zlomku, takže existujú metódy na transformáciu celých čísel, desatinné čísla presné a pravidelné desatinné miesta vo zlomkoch.
Prečítajte si tiež: Operácie so zlomkami - ako vyriešiť?
Čo sú to racionálne čísla?
Racionálne čísla sú rozšírenie množiny celých čísel, potom boli pridané okrem celých čísel všetky zlomky. O nastaviť racionálnych čísel predstavuje:
Toto vyjadrenie hovorí, že číslo je racionálne, ak ho možno reprezentovať ako zlomok The o B, také, že The je celé číslo a B je nenulové celé číslo. Ak však máme racionálne čísla definovať menej dôsledne, môžeme povedať nasledovné:
Racionálne čísla sú všetky čísla, ktoré možno reprezentovať ako zlomok. |
Zoznámte sa s touto definíciou:
ty celé číslas, napríklad: -10, 7, 0;
ty presné desatinné čísla, napríklad: 1,25; 0,1; 3,1415;
o jednoduché periodické desiaty, napríklad: 1.424242…;
o zložené periodické desiate, napríklad: 1,0288888…
Nie sú racionálne čísla:
O neperiodické desiate, napríklad: 4,1239489201…;
O korenenie presne, napríklad:
;- THE žabaiz štvorec z záporné čísla, napríklad:
.
Pozorovanie: Existencia neracionálnych čísel spôsobuje, že vznikajú ďalšie množiny, napríklad iracionálne čísla a komplexné čísla.
Reprezentácia racionálnych čísel
Pochopenie, že zlomok je a rozdelenie z dvoch celých čísel, aby to bolo racionálne číslo, toto číslo môžete reprezentovať ako zlomok. Preto každý z vyššie spomenutých prípadov ako racionálne čísla (celé čísla, presné desatinné miesta a periodické desatinné miesta) možno reprezentovať ako zlomok.
celé čísla
Existuje nekonečné množstvo možností, ako reprezentovať celé číslo ako zlomok, pretože zlomok môže byť reprezentovaný v neredukovateľnej forme alebo nie.
Príklady:
presné desatinné miesta
Ak chcete zmeniť presné desatinné číslo na a zlomok, spočítame počet čísel v jeho desatinnej časti, teda za desatinnou čiarkou. Ak je za čiarkou číslo, napíšeme celočíselnú časť plus desatinnú časť bez čiarky nad 10. Ak sú v desatinnej časti nad 100 dve čísla, v praxi bude číslom v desatinnej časti množstvo núl, ktoré máme v menovateli. Pozrite si príklad:
periodické desiaty
Nájsť zlomkové zastúpenie desatiny nie je vždy ľahká úloha, čomu hovoríme generujúca frakcia. Na uľahčenie tejto práce sa pozorovalo, že v rovnici, ktorú sme použili na nájdenie generujúcej frakcie, existujú zákonitosti, ktoré umožňujú vývoj praktickej metódy.
Najprv musíme pochopiť, že existujú dva typy periodických desiatkov, jednoduché a zložené. Jeden desiata je jednoduchá ak je v jeho desatinnej časti iba časť, ktorá sa opakuje, teda bodka. Jeden desiata je zlúčenina ak je v jeho desatinnej časti neperiodická časť.
Príklad:
9,323232… → jednoduché periodické desatinné miesto
Celé číslo sa rovná 9.
Obdobie sa rovná 32.
8,7151515… → zložený periodický desiatok
Celé číslo sa rovná 8.
Neperiodická desatinná časť sa rovná 7.
Lehota sa rovná 15.
Pozri tiež: Ekvivalentné zlomky - zlomky, ktoré predstavujú rovnaké množstvo
→ 1. prípad: generovanie zlomku jednoduchého pravidelného desatinného miesta
V prvom prípade do jednoduché periodické desatinné miesto premieňajte na zlomky praktickou metódou stačí do čitateľa napísať celú časť plus bodku bez čiarky. V menovateli pre každý prvok v periodickej časti pridáme 9.
Príklad:
Generujúci zlomok 9.323232…, ako sme videli, má periódu rovnú 32, teda dve čísla v jej perióde, takže menovateľ je 99. Celočíselná časť plus periodická časť bez čiarky je 932, čo je čitateľ. Takže generujúca časť tejto desiatky je:
→ 2. prípad: generovanie zlomku zloženého periodického desatinného miesta
Periodická zložená desiata je trochu prácnejšia. Poďme nájsť generujúcu časť desiatku, na ktorej sme pracovali v príklade.
8,7151515… → zložené periodické desatinné miesto.
Celé číslo sa rovná 8.
Neperiodická desatinná časť sa rovná 7.
Desatinná časť obdobia sa rovná 15.
Čitateľom bude odčítanie 8715 - 87, to znamená rozdiel medzi počtom, ktorý prechádza od celej časti k periodickej časti s neopakujúcou sa časťou desiatku.
Čitateľ sa bude rovnať 8715 - 87 = 8628.
Ak chcete nájsť menovateľa, analyzujme desatinnú časť. Najprv sa pozrime na neperiodickú a periodickú desatinnú časť. V takom prípade je desatinná časť čísla 715. Pre každé číslo, ktoré je v periodickej časti, pridajme a 9 na začiatku menovateľa. Pretože periodická časť má v tomto prípade dve čísla (15), v menovateli budú dve 9s. Pre každé číslo v desatinnej časti, ktoré nie je periodické, pridáme a 0 na konci menovateľa, ktorý bude 990.
Čoskoro generujúca frakcia desatiny bude:
Vlastnosti racionálnych čísel
Medzi dvoma racionálnymi číslami bude vždy iné racionálne číslo
Je zaujímavé zamyslieť sa nad tým, že táto vlastnosť, o ktorej diskutovali už staré národy, sa stala paradoxom. Ak vyberieme dve racionálne čísla, vždy medzi nimi bude číslo.
Príklad:
Medzi 1 a 2 je 1,5; medzi 1 a 1,5 je 1,25; medzi 1 a 1,25 je 1,125 a tak ďalej. Nakoľko vyberiem dve racionálne čísla s veľmi malým rozdielom medzi nimi, vždy je možné medzi nimi nájsť racionálne číslo. Táto vlastnosť je nemožno racionálne určiť nástupcu a predchodcu.
Štyri operácie na množine racionálnych čísel sú ukončené
Hovoríme, že súprava je pre súčet, napríklad ak súčet dvoch racionálnych čísel vygeneruje ako odpoveď vždy ďalšie racionálne číslo. To sa deje so štyrmi operáciami na Q.
THE sčítanie, odčítanie, delenie a násobenie medzi dvoma racionálnymi číslami bude mať vždy za následok racionálne číslo. V skutočnosti dokonca aj potencovanie racionálneho čísla vždy vygeneruje racionálne číslo ako odpoveď.
Sada racionálnych čísel nie je uzavretý pre žiarenie. Teda mpretože 2 je racionálne číslo, druhá odmocnina z 2 je a iracionálne číslo.
Pozri tiež: Ekvivalentné zlomky - zlomky, ktoré predstavujú rovnaké množstvo
Podmnožiny racionálnych čísel
Vieme ako podmnožiny alebo inklúzny vzťah množín tvorených prvkami, ktoré patria do množiny racionálnych čísel. Existuje niekoľko možných podmnožín, ako množina celých čísel alebo prirodzené, pretože každé celé číslo je racionálne, rovnako ako každé prirodzené číslo je racionálne.
Príklad:
Sada celých čísel: Z = {… -3, -2, -1, 0,1, 2, 3,…}.
Keď sa to stane, povieme to Z ⸦ Q (Znie: Z je obsiahnuté v Q alebo množina celých čísel je obsiahnutá v množine racionálnych čísel.)
Existuje niekoľko symbolov, ktoré sú nevyhnutné pre vytváranie podmnožín Q, sú to: +, - a *, ktoré znamenajú kladné, záporné a nenulové hodnoty.
Príklady:
Q * → (číta: sada nenulových racionálnych čísel.)
Q+ → (znie: sada kladných racionálnych čísel.)
Q- → (číta: sada záporných racionálnych čísel.)
Q*+ → (číta: sada kladných a nenulových racionálnych čísel.)
Q*- → (číta: sada záporných a nenulových racionálnych čísel.)
Všimnite si, že všetky tieto množiny sú podmnožinami Q, pretože všetky prvky patria do množiny racionálnych čísel. Okrem prezentovaných množín môžeme pracovať s niekoľkými podmnožinami v Q, ako je množina tvorená nepárnymi číslami, príp bratrancialebo páry, nakoniec existuje niekoľko a niekoľko možností podmnožín.
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-racionais.htm
