Medzi spôsobmi, ako nájsť číselnú hodnotu x, je proces známy aj ako nájsť korene rovnice alebo nájdi riešenie rovnice, vyniknúť: Bhaskara vzorec to je proces dokončovania štvorcov. Posledný uvedený je stredobodom pozornosti dnešného textu.
Počet riešení rovnice je daný jej stupňom. Preto rovnice prvého stupňa majú iba jedno riešenie, rovnice tretieho stupňa majú tri riešenia a kvadratické rovnice majú dve riešenia, ktoré sa tiež nazývajú korene..
Rovnice druhého stupňa v zmenšenej podobe možno písať takto:
sekera2 + bx + c = 0
metóda štvorcového dokončovania
V takom prípade je kvadratická rovnica dokonalá štvorcová trojčlenka
Rovnice druhého stupňa vyplývajúce z pozoruhodného produktu sú známe ako dokonalý štvorcový trojuholník. Na nájdenie jeho koreňov použijeme nasledujúcu metódu:
Príklad: Vypočítajte korene rovnice x2 + 6x + 9 = 0.
Všimnite si, že koeficient b je 6 = 2,3. Ak ho chcete napísať vo forme pozoruhodného produktu, stačí skontrolovať, či c = 32, čo je pravda, od 32 = 9 = c. Týmto spôsobom môžeme napísať:
X2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
Pozoruhodný produkt je produkt medzi dvoma rovnakými polynómami. V prípade tejto rovnice budeme mať:
(x + 3)2 = (x + 3) (x + 3) = 0
Produkt sa rovná nule iba vtedy, ak sa jeden z jeho faktorov rovná nule. Preto pre (x + 3) (x + 3) = 0 je potrebné, aby (x + 3) = 0 alebo (x + 3) = 0. Preto dva rovnaké výsledky pre rovnicu x2 + 6x + 9 = 0, čo sú: x = - 3 alebo x = - 3.
V skratke: vyriešiť rovnicu x2 + 6x + 9 = 0, napíšte:
X2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3) (x + 3) = 0
x = - 3 alebo x = - 3
V takom prípade kvadratická rovnica nie je dokonalá štvorcová trojčlenka
Rovnica druhej, v ktorej koeficient b a koeficient c nespĺňajú vyššie stanovené vzťahy, nie je dokonalá trojuholník. V tomto prípade je možné použiť vyššie zvýraznenú metódu riešenia s pridaním niekoľkých krokov. Všimnite si nasledujúci príklad:
Príklad: Vypočítajte korene rovnice x2 + 6x - 7 = 0.
Upozorňujeme, že táto rovnica nie je dokonalým štvorcovým trojčlenom. Aby to bolo možné, môžeme použiť nasledujúce operácie:
Všimnite si, že b = 2 · 3, takže v prvom člene by mal byť výraz x2 + 6x + 9, pretože v tomto výraze b = 2,3 a c = 32.
Pre túto „transformáciu“ pridajte 32 na dvoch členoch tejto rovnice „odovzdajte“ - 7 druhému členu, vykonajte možné operácie a sledujte výsledky:
X2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
X2 + 6x + 32 = 32 + 7
X2 + 6x + 9 = 9 + 7
X2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
√ (x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 alebo x + 3 = - 4
Tento posledný krok musí byť rozdelený do dvoch rovníc, pretože koreň 16 môže byť buď 4 alebo - 4 (vyskytuje sa to iba v rovniciach. Na otázku, čo je koreň 16, je odpoveď len 4). Je teda potrebné nájsť všetky možné výsledky. Pokračovanie:
x + 3 = 4 alebo x + 3 = - 4
x = 4 - 3 alebo x = - 4 - 3
x = 1 alebo x = - 7
V takom prípade sa koeficient „a“ nerovná 1
Predchádzajúce prípady sú určené pre kvadratické rovnice, kde je koeficient „a“ rovný 1. Ak je koeficient „a“ odlišný od 1, vydeľte celú rovnicu hodnotou „a“ a pokračujte vo výpočtoch rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom prípade.
Príklad: Vypočítajte 2x korene2 + 16x - 18 = 0
Všimnite si, že a = 2. Takže vydeľte celú rovnicu dvoma a výsledky zjednodušte:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
X2 + 8x - 9 = 0
Po dokončení zopakujte postup z predchádzajúceho prípadu.
X2 + 8x - 9 = 0
X2 + 8x - 9 + 16 = 0 + 16
X2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
√ (x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 alebo x + 4 = –5
x = 5 - 4 alebo x = - 5 - 4
x = 1 alebo x = - 9
Pozoruhodné produkty a rovnice druhého stupňa: Pôvod metódy štvorcového dokončovania
Kvadratické rovnice sú podobné pozoruhodným produktom súčet štvorec a druhá mocnina rozdielu.
Súčet na druhú je napríklad súčtom dvoch monomónov na druhú. Pozerať:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
Prvý člen vyššie uvedenej rovnosti je známy ako pozoruhodný produkt a druhý ako dokonalý štvorcový trojuholník. Ten druhý je veľmi podobný rovnici druhého stupňa. Pozerať:
Perfektný štvorcový trojuholník: X2 + 2kx + k2
Rovnica druhého stupňa: sekera2 + bx + c = 0
Týmto spôsobom, ak existuje spôsob, ako napísať kvadratickú rovnicu ako pozoruhodný produkt, možno existuje aj spôsob, ako nájsť svoje výsledky bez potreby použitia vzorca: Bhaskara.
Za týmto účelom si všimnite, že v pozoruhodnom produkte uvedenom vyššie sú a = 1, b = 2 · k a c = k2. Týmto spôsobom je možné písať rovnice, ktoré spĺňajú tieto požiadavky, vo forme pozoruhodného produktu.
Pozrime sa teda na koeficienty v rovnici. Ak je „a“ odlišné od 1, vydeľte celú rovnicu hodnotou „a“. V opačnom prípade sledujte koeficient „b“. Číselná hodnota polovice tohto koeficientu sa musí rovnať číselnej hodnote druhej odmocniny koeficientu „c“. Matematicky, vzhľadom na rovnicu osi2 + bx + c = 0, ak a = 1 a navyše:
B = c
2
Túto rovnicu teda môžete napísať takto:
sekera2 + bx + c = (x + B) = 0
2
A jeho korene budú - B a + b.
2 2
Preto všetka teória použitá na výpočet koreňov kvadratických rovníc metódou dokončovania štvorcov.
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vyštudoval matematiku
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm