A matica identity je špeciálny druh ústredie. Poznáme maticu identity In štvorcová matica rádu n, ktorá má všetky členy na uhlopriečke rovné 1 a členy nepatriace do hlavnej uhlopriečky rovné 0. Matica identity sa považuje za neutrálny prvok násobenia, teda ak maticu vynásobíme M pomocou matice identity nájdeme ako výsledok samotnú maticu M.
Pozri tiež: Čo je determinantom matice?
Témy tohto článku
- 1 - Súhrn o matici identity
-
2 - Čo je matica identity?
- ? Typy matice identity
- 3 - Vlastnosti matice identity
- 4 - Násobenie matice identity
- 5 - Vyriešené úlohy na maticu identity
Zhrnutie o matici identity
Matica identity je štvorcová matica s prvkami na hlavnej uhlopriečke rovnými 1 a s ostatnými prvkami rovnými 0.
Existujú matice identity rôznych rádov. Predstavujeme maticu identity poriadku n od I n.
Matica identity je neutrálnym prvkom násobenia matíc, tj. \(A\cdot I_n=A.\)
Súčin štvorcovej matice a jej inverznej matice je matica identity.
Čo je matica identity?
Matica identity je a špeciálny typ štvorcovej matice
. Štvorcová matica je známa ako matica identity, ak má všetky prvky na hlavnej uhlopriečke rovné 1 a všetky ostatné prvky rovné 0. Potom v každej matrici identity:
➝ Typy matice identity
Existujú matice identity rôznych rádov. objednávka n zastupuje In. Pozrime sa nižšie na niektoré matice iných objednávok.
Matica identity objednávky 1:
\(I_1=\vľavo[1\vpravo]\)
Identifikačná matica objednávky 2:
\(I_2=\vľavo[\začiatok{matrix}1&0\\0&1\\\koniec{matice}\vpravo]\)
Identifikačná matica objednávky 3:
\(I_3=\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matic}\right]\)
Identifikačná matica objednávky 4:
\(I_4=\left[\begin{matrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Identifikačná matica objednávky 5:
\(I_5=\left[\begin{matrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
Postupne môžeme písať matice identity rôznych rádov.
Neprestávaj teraz... Po publicite je toho viac ;)
Vlastnosti matrice identity
Matica identity má dôležitú vlastnosť, pretože je neutrálnym prvkom násobenia medzi maticami. To znamená, že akákoľvek matica vynásobená maticou identity sa rovná sama sebe. Teda vzhľadom na maticu M poriadku n,máme:
\(I_n\cdot M=M\cdot I_n=M\)
Ďalšou dôležitou vlastnosťou matice identity je, že súčin štvorcovej matice a jej inverzná matica je matica identity. Daná štvorcová matica M poriadku n, súčin M jeho inverznou hodnotou je daný:
\(M\cdot M^{-1}=I_n\)
Prečítajte si tiež: Čo je trojuholníková matica?
Násobenie matice identity
Keď vynásobíme maticu M identitou matice poriadku n, dostaneme ako výsledok maticu M. Pozrime sa nižšie na príklad súčinu matice M rádu 2 a matice identity rádu 2.
\(A\ =\ \left(\začiatok{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\koniec{matice}\vpravo) \) to je \(I_n=\left(\začiatok{matice}1&0\\0&1\\\koniec{matice}\vpravo)\)
Predpokladajme, že:
\(A\cdot I_n=B\)
Máme:
\(B\ =\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matice}\right)\)
Takže súčin A by \(Ja_n\) bude to:
\(b_{11}=1\cdot a_{11}\cdot1+0\cdot a_{12}=a_{11}\)
\(b_{12}=0\cdot a_{11}+1\cdot a_{12}=a_{12}\)
\(b_{21}=1\cdot a_{21}+0\cdot a_{22}=a_{21}\)
\(b_{22}=0\cdot a_{21}+1\cdot a_{22}=a_{22}\)
Všimnite si, že členy matice B sú totožné s členmi matice A, to znamená:
\(A\cdot I_n=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matice}\right]=A\)
Príklad:
Bytie M Matica \(M=\ \left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matice}\right]\), vypočítajte súčin medzi maticou M a matice \(I_3\).
Rozhodnutie:
Pri násobení máme:
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\\end\end{matic}}
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1\ \cdot\ 1\ +\ 0\ \cdot\ 4\ +\ 0\ \cdot\ 0&1\cdot0\ +\ 4\ \cdot\ 1\ +\ 0\cdot\ 0&1\cdot\cdot+do 4\c1\cdot+do+ \ 5\ \cdot\ 0\ +\ 3\ \cdot\ 0&2\ \cdot\ 0\ +\ 3 cdot 1\\\end{matrix}\right]\)
\(M\cdot I_3=\left[\begin{matrix}1&4&0\\2&5&3\\-3\ &-2&1\\\end{matice}\right]\)
Vyriešené úlohy na maticu identity
Otázka 1
Existuje štvorcová matica rádu 3, ktorá je definovaná pomocou \(a_{ij}=1 \) kedy \(i=j\) to je \(a_{ij}=0\) to je kedy \(i\neq j\). Táto matica je ako:
A) \( \left[\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
B) \( \left[\begin{matrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{matrix}\right]\)
W) \( \left[\begin{matrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
D) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
A) \( \left[\begin{matrix}1&0&0\\1&1&0\\1&1&1\\\end{matrix}\right]\)
Rozhodnutie:
Alternatíva D
Pri analýze matice máme:
\(a_{12}=a_{13}=a_{21}=a_{23}=a_{31}=a_{32}=0\)
\(a_{11}=a_{22}=a_{33}=1\)
Matica sa teda rovná:
\(\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\)
otázka 2
(UEMG) Ak je inverzná matica z \(A=\vľavo[\začiatok{matice}2&3\\3&x\\\koniec{matice}\vpravo]\) é \( \left[\begin{matice}5&-3\\-3&2\\\end{matic}\right]\), hodnota x je:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 9
Rozhodnutie:
Alternatíva A
Vynásobením matíc si uvedomíme, že ich súčin sa rovná matici identity. Ak vypočítame súčin druhého riadku matice prvým stĺpcom jej inverznej hodnoty, máme:
\(3\cdot5+x\cdot\left(-3\right)=0\)
\(15-3x=0\)
\(-\ 3x=0-15\ \)
\(-\ 3x=-\ 15\)
\(x=\frac{-15}{-3}\)
\(x=5\ \)
Autor: Raul Rodrigues de Oliveira
Učiteľ matematiky
Chceli by ste na tento text odkazovať v školskej alebo akademickej práci? Pozri:
OLIVEIRA, Raul Rodrigues de. "Matrika identity"; Brazílska škola. Dostupné v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-identidade.htm. Prístupné 20. júla 2023.
Pochopenie aplikácie matrík je dôležitým faktom, aby ste nezostali pozadu pri prijímacej skúške. Aplikácia matrík na prijímacích skúškach sa uskutočňuje spojením viacerých pojmov matrík v jednej otázke.
Naučte sa vypočítať determinanty štvorcových matíc rádu 1, 2 a 3. Naučte sa používať Sarrusovo pravidlo. Poznať vlastnosti determinantov.
Pochopte tu definície a formalizácie maticovej štruktúry. Pozrite si tiež, ako ovládať jeho prvky a rôzne typy matíc.
Kliknite sem a zistite, čo je symetrická matica. Spoznajte jej vlastnosti a zistite, ako sa líši od antisymetrickej matrice.
Pochopte, čo je transpozičná matica. Poznať vlastnosti transponovanej matice. Naučte sa, ako nájsť transponovanú maticu danej matice.
Naučte sa vypočítať násobenie medzi dvoma maticami, ako aj vedieť, čo je matica identity a čo je inverzná matica.
Poznať Cramerovo pravidlo. Naučte sa používať Cramerovo pravidlo na hľadanie riešení pre lineárny systém. Pozrite si spracované príklady Cramerovho pravidla.
Poznáte Sarrusovo pravidlo? Zistite, ako použiť túto metódu na nájdenie determinantu matíc 3x3.
Krčiť sa
Slang upravený z angličtiny sa používa na označenie niekoho, kto je považovaný za nevkusného, hanebného, zastaraného a nemoderného.
Neurodiverzita
Termín, ktorý vytvorila Judy Singer, sa používa na opis rôznych spôsobov, akými sa ľudská myseľ správa.
PL falošných správ
Tiež známy ako PL2660 je návrh zákona, ktorý zavádza mechanizmy na reguláciu sociálnych sietí v Brazílii.
