Štúdia s vyriešenými cvičeniami sínus, kosínus a dotyčnica. Precvičte si a odstráňte svoje pochybnosti komentovanými cvičeniami.
Otázka 1
Určte hodnoty x a y v nasledujúcom trojuholníku. Uvažujme sin 37º = 0,60, kosínus 37º = 0,79 a tan 37º = 0,75.
Odpoveď: y = 10,2 m a x = 13,43 m
Na určenie y používame sínus 37º, čo je pomer opačnej strany k prepone. Stojí za to pamätať, že prepona je segment oproti 90º uhlu, takže má hodnotu 17 m.
Na určenie x môžeme použiť kosínus 37º, čo je pomer medzi stranou susediacou s uhlom 37º a preponou.
otázka 2
V nasledujúcom pravouhlom trojuholníku určte hodnotu uhla v stupňoch a jeho sínus, kosínus a tangens.
Zvážte:
sin 28º = 0,47
cos 28º = 0,88
odpoveď: ,
V trojuholníku je súčet vnútorných uhlov rovný 180°. Keďže ide o pravouhlý trojuholník, má uhol 90º, takže pre tieto dva uhly zostáva ďalších 90º.
Týmto spôsobom máme:
Keďže tieto uhly sú komplementárne (z jedného z nich, z druhého je to, koľko zostáva na dokončenie 90º), platí, že:
cos 62º = sin 28º = 0,47
a
sin 62º = cos 28º = 0,88
Výpočet tangenty
Tangenta je pomer sínusu ku kosínusu.
otázka 3
V určitom čase slnečného dňa sa tieň domu premieta na 23 metrov. Tento zvyšok robí 45º vzhľadom na zem. Týmto spôsobom určite výšku domu.
Odpoveď: Výška domu je 23 m.
Na určenie výšky, keď poznáme uhol sklonu, použijeme tangens uhla 45°.
45° dotyčnica sa rovná 1.
Dom a tieň na zemi sú nohy pravouhlého trojuholníka.
Výška domu je teda 23 m.
otázka 4
Geodet je profesionál, ktorý využíva matematické a geometrické znalosti na meranie a štúdium povrchu. Pomocou teodolitu, nástroja, ktorý okrem iných funkcií meria uhly, umiestnený na 37 metrov ďaleko od budovy našiel uhol 60° medzi rovinou rovnobežnou so zemou a výškou budovy budova. Ak bol teodolit na statíve 180 cm od zeme, určte výšku budovy v metroch.
zvážiť
Odpoveď: Výška objektu je 65,81 m.
Vytvorenie náčrtu situácie, ktorú máme:
Výšku budovy teda možno určiť pomocou dotyčnice 60º z výšky, kde sa nachádza teodolit, pričom k výsledku pripočítame 180 cm alebo 1,8 m, keďže ide o výšku od zeme.
60° dotyčnica sa rovná .
Výška od teodolitu
Celková výška
64,01 + 1,8 = 65,81 m
Výška objektu je 65,81 m.
otázka 5
Určte obvod päťuholníka.
Zvážte:
sin 67° = 0,92
cos 67° = 0,39
tan 67° = 2,35
Odpoveď: Obvod je 219,1 m.
Obvod je súčet strán päťuholníka. Keďže ide o obdĺžnikovú časť s rozmermi 80 m, protiľahlá strana má tiež dĺžku 80 m.
Obvod je daný:
P = 10 + 80 + 80 + a + b
P = 170 + a + b
Bytie ten, rovnobežne s modrou prerušovanou čiarou môžeme určiť jej dĺžku pomocou dotyčnice 67°.
Na určenie hodnoty b používame kosínus 67°
Takže obvod je:
P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m
otázka 6
Nájdite sínus a kosínus 1110°.
Vzhľadom na trigonometrický kruh máme, že úplný obrat má 360°.
Keď vydelíme 1110° 360° dostaneme 3,0833.... To znamená 3 plné otáčky a trochu viac.
Ak vezmeme 360° x 3 = 1080° a odpočítame od 1110, máme:
1110° - 1080° = 30°
Vzhľadom na kladný smer proti smeru hodinových ručičiek sa po troch úplných otáčkach vrátime na začiatok, 1080° alebo 0°. Od tohto bodu postúpime o ďalších 30°.
Takže sínus a kosínus 1110° sa rovnajú sínusu a kosínusu 30°
otázka 7
(CEDERJ 2021) Júlia sa pri štúdiu trigonometrického testu dozvedela, že sin² 72° sa rovná
1 - cos² 72°.
cos² 72° - 1.
tg² 72° - 1.
1 - tg² 72º.
Základný vzťah trigonometrie hovorí, že:
Kde x je hodnota uhla.
Ak vezmeme x = 72º a izolujeme sínus, máme:
otázka 8
Rampy sú dobrým spôsobom, ako zabezpečiť dostupnosť pre vozičkárov a osoby so zníženou pohyblivosťou. Prístupnosť budov, mobiliáru, priestorov a mestského vybavenia je zaručená zákonom.
Brazílska asociácia technických noriem (ABNT) v súlade s brazílskym zákonom o začlenení osôb s invalidity (13,146/2015), upravuje konštrukciu a definuje sklon rámp, ako aj výpočty pre ich výstavby. Pokyny na výpočet ABNT uvádzajú maximálny limit sklonu 8,33 % (pomer 1:12). To znamená, že rampa na prekonanie rozdielu 1 m musí byť dlhá aspoň 12 m a toto definuje, že uhol sklonu rampy vo vzťahu k horizontálnej rovine nemôže byť väčší ako 7°.
Podľa predchádzajúcich informácií tak, že rampa s dĺžkou rovnajúcou sa 14 m a sklonom 7º v vo vzťahu k rovine, je v rámci noriem ABNT, musí slúžiť na prekonanie medzery s maximálnou výškou
Použitie: hriech 7. = 0,12; cos 7º = 0,99 a tan 7º = 0,12.
a) 1,2 m.
b) 1,32 m.
c) 1,4 m.
d) 1,56 m.
e) 1,68 m.
Rampa tvorí pravouhlý trojuholník s dĺžkou 14 m, ktorý zviera uhol 7º vo vzťahu k horizontále, pričom výška je strana protiľahlá k uhlu.
Použitie sínusu 7°:
Výška, ktorú musí rampa dosiahnuť, je 1,68 m.
otázka 9
(Unesp 2012) Na svahovitom teréne sa stavia budova nemocnice. Pre optimalizáciu stavby navrhol zodpovedný architekt parkovisko v suteréne objektu so vstupom zo zadnej ulice pozemku. Recepcia nemocnice je 5 metrov nad úrovňou parkoviska, čo si vyžaduje vybudovanie rovnej nájazdovej rampy pre pacientov s pohybovými ťažkosťami. Obrázok schematicky znázorňuje túto rampu (r), ktorá spája bod A na podlahe recepcie s bodom B na podlahe parkoviska, ktorá musí mať minimálny sklon α 30º a maximálny 45º.
Za týchto podmienok a zvážení , aké by mali byť maximálne a minimálne hodnoty dĺžky tejto nájazdovej rampy v metroch?
Odpoveď: Dĺžka nájazdovej rampy bude minimálne 7 m a maximálne 10 m.
Projekt už počíta a stanovuje výšku na 5 m. Musíme vypočítať dĺžku rampy, ktorá je preponou pravouhlého trojuholníka, pre uhly 30° a 45°.
Na výpočet sme použili sínus uhla, čo je pomer medzi opačnou stranou, 5m, a preponou r, čo je dĺžka rampy.
Pre pozoruhodné uhly 30° a 45° sú sínusové hodnoty:
pre 30°
na 45°
racionalizácia
Nahradením hodnoty
otázka 10
(EPCAR 2020) V noci vrtuľník brazílskych vzdušných síl preletí nad rovinatým regiónom a zbadá UAV (Air Vehicle Bezpilotné) kruhového tvaru a zanedbateľnej výšky, s polomerom 3 m, zaparkované rovnobežne so zemou vo vzdialenosti 30 m od výška.
UAV je vo vzdialenosti y metrov od svetlometu, ktorý je nainštalovaný na vrtuľníku.
Lúč svetla z reflektora, ktorý prechádza cez UAV, dopadá na plochú oblasť a vytvára kruhový tieň so stredom O a polomerom R.
Polomer R obvodu tieňa tvorí so svetelným lúčom uhol 60º, ako je vidieť na nasledujúcom obrázku.
V tom momente osoba, ktorá je v bode A na obvode tieňa, beží do bodu O, stopu od kolmice vedenej z reflektora do rovinnej oblasti.
Vzdialenosť v metroch, ktorú táto osoba prejde z bodu A do bodu O, je číslo medzi nimi
a) 18 a 19
b) 19 a 20
c) 20 a 21
d) 22 a 23
cieľ
Určite dĺžku segmentu , polomer kruhu tieňa.
Údaje
- Výška od O po UAV je 30 m.
- Polomer UAV je 3 m.
Pomocou 60° dotyčnice určíme časť zvýraznenú červenou farbou na nasledujúcom obrázku:
Vzhľadom na dotyčnicu 60° = a dotyčnica je pomer medzi stranou oproti uhlu a jeho susednou stranou, máme:
racionalizácia
Dĺžka AO je
blížiace sa k hodnote
Približné meranie segmentu AO je 20,3 m, teda hodnota medzi 20 a 21.
Študujte aj s:
- Sínus, kosínus a tangens
- Trigonometrické cvičenia v pravouhlom trojuholníku
- Trigonometrické cvičenia
- Trigonometria v pravom trojuholníku
- Trigonometria
- trigonometrické identity
- Cvičenia o goniometrických pomeroch
- Metrické vzťahy v pravom trojuholníku
- Trigonometrické vzťahy
- uhly
- Trigonometrické pomery
- trigonometrická tabuľka
- Goniometrické funkcie
- Trigonometrický kruh
- Sinesov zákon
- Zákon kosínov
