Analytická geometria študuje geometrické prvky v súradnicovom systéme v rovine alebo priestore. Tieto geometrické objekty sú určené ich umiestnením a polohou vo vzťahu k bodom a osám tohto orientačného systému.
Od starovekých národov, ako sú Egypťania a Rimania, sa myšlienka súradníc objavila už v histórii. Ale bolo to v 17. storočí, vďaka prácam René Descartesa a Pierra de Fermata, bola táto oblasť matematiky systematizovaná.
Kartézsky ortogonálny systém
Ortogonálny karteziánsky systém je referenčnou základňou na lokalizáciu súradníc. Tvoria ho v rovine dve na seba kolmé osi.
- Počiatok O(0,0) tohto systému je priesečníkom týchto osí.
- Os x je úsečka.
- Os y je ordináta.
- Štyri kvadranty sú orientované proti smeru hodinových ručičiek.
objednaný pár
Každý bod v rovine má súradnicu P(x, y).
x je úsečka bodu P a predstavuje vzdialenosť od jeho kolmého priemetu na os x k začiatku.
y je ordináta bodu P a je vzdialenosť od jeho kolmého priemetu na os y k začiatku.
vzdialenosť medzi dvoma bodmi
Vzdialenosť medzi dvoma bodmi v karteziánskej rovine je dĺžka segmentu spájajúceho tieto dva body.
Vzorec vzdialenosti medzi dvoma bodmi a
akýkoľvek.
Stredové súradnice
Stred je bod, ktorý rozdeľuje segment na dve rovnaké časti.
Bytie stred segmentu
, jeho súradnice sú aritmetickým priemerom úsečky a ordináty.
a
Podmienka trojbodového zarovnania
Vzhľadom na body: .
Tieto tri body budú zarovnané, ak sa determinant nasledujúcej matice rovná nule.
Príklad
Uhlový koeficient priamky
svah priamky je dotyčnica jej sklonu
vzhľadom na os x.
Získanie sklonu z dvoch bodov:
Ak m > 0, čiara je vzostupná, v opačnom prípade, ak je m < 0, čiara je zostupná.
všeobecná rovnica priamky
Kde ten,B a ç sú konštantné reálne čísla a The a B nie sú súčasne nulové.
Príklad
Priamková rovnica poznajúca bod a sklon
daný bod a svah
.
Rovnica čiary bude:
Príklad
Redukovaný tvar rovnej rovnice
Kde:
m je sklon;
n je lineárny koeficient.
č je usporiadaná tam, kde priamka pretína os y.
Príklad
Pozri Čiarová rovnica.
Relatívna poloha medzi dvoma rovnobežnými čiarami v rovine
Dve zreteľné čiary sú rovnobežné, keď sú ich sklony rovnaké.
ak rovný r má sklon , a rovno s má sklon
, sú paralelné, keď:
Na to musia byť vaše sklony rovnaké.
Tangenty sú rovnaké, keď sú uhly rovnaké.
Relatívna poloha medzi dvoma konkurenčnými priamkami v rovine
Dve čiary sú súbežné, keď sú ich sklony odlišné.
Na druhej strane sa sklony líšia, keď sú ich uhly sklonu vzhľadom na os x odlišné.
kolmé čiary
Dva zvyšky sú kolmé, keď sa súčin ich sklonov rovná -1.
dve rovinky r a s, zreteľné, so sklonmi a
, sú kolmé vtedy a len vtedy, ak:
alebo
Ďalší spôsob, ako zistiť, či sú dve priamky kolmé, je z ich rovníc vo všeobecnom tvare.
Rovnice priamok r a s sú:
Dve čiary na ňu kolmé, keď:
Pozri Kolmé čiary.
Obvod
Obvod je miesto na rovine, kde sú všetky body P(x, y) rovnako vzdialené r od jeho stredu C(a, b), kde r je miera polomeru.
Obvodová rovnica v redukovanom tvare
Kde:
r je polomer, vzdialenosť medzi ktorýmkoľvek bodom na oblúku a stredom. Ç.
The a B sú súradnice stredu Ç.
všeobecná rovnica kruhu
Získa sa vyvinutím druhých mocnín redukovanej rovnice obvodu.
V cvičeniach je veľmi bežné zobrazovať všeobecný tvar obvodovej rovnice, tiež známy ako normálna forma.
kužeľovité
Slovo kužeľový pochádza z kužeľa a vzťahuje sa na krivky získané jeho rozrezaním. Elipsa, hyperbola a parabola sú krivky nazývané kužeľosečky.
Elipsa
Elipsa je uzavretá krivka získaná rozrezaním priameho kruhového kužeľa rovinou šikmou k osi, ktorá neprechádza vrcholom a nie je rovnobežná s jeho tvoriacimi priamkami.
V rovine množina všetkých bodov, ktorých súčet vzdialeností dvoch vnútorných pevných bodov je konštantný.
Prvky elipsy:
- F1 a F2 sú ohniská elipsy;
- 2c je ohnisková vzdialenosť elipsy. Je to vzdialenosť medzi F1 a F2;
- Bod O je to stred elipsy. Je to stred medzi F1 a F2;
- A1 a A2 sú vrcholy elipsy;
- segmente
hlavná os a rovná sa 2a.
- segmente
vedľajšia os sa rovná 2b.
- Výstrednosť
kde 0 < a < 1.
Redukovaná elipsová rovnica
Uvažujme bod P(x, y) obsiahnutý v elipse, kde x je súradnica a y je ordináta tohto bodu.
Stred elipsy v počiatku súradnicového systému a hlavnej osi (AA) na osi x.
Stred elipsy v počiatku súradnicového systému a hlavnej osi (AA) na osi y.
Redukovaná rovnica elipsy s osami rovnobežnými so súradnicovými osami
berúc do úvahy bod ako počiatok karteziánskeho systému a bod
ako stred elipsy.
Hlavná os AA, rovnobežná s osou x.
Hlavná os AA, rovnobežná s osou y.
Hyperbola
Hyperbola je množina bodov na rovine, kde rozdiel medzi dvoma pevnými bodmi F1 a F2 má za následok konštantnú kladnú hodnotu.
Prvky hyperboly:
- F1 a F2 sú ohniská hyperboly.
- 2c =
je ohnisková vzdialenosť.
- Stred hyperboly je bod ó, Priemer segmentu F1F2.
- A1 a A2 sú vrcholy.
- 2a = A1A2 je skutočná alebo priečna os.
- 2b = B1B2 je imaginárna alebo konjugovaná os.
-
je výstrednosť.
Cez trojuholník B1OA2
Hyperbola redukovaná rovnica
So skutočnou osou okolo osi x a so stredom na začiatku.
So skutočnou osou na osi y a stredom na začiatku.
Hyperbolová rovnica s osami rovnobežnými so súradnicovými osami
AA reálna os rovnobežná s osou x a stredom .
Skutočná os AA rovnobežná s osou y a stredom .
Podobenstvo
Parabola je miesto, kde množina bodov P(x, y) je rovnako vzdialená od pevného bodu F a priamky d.
Prvky podobenstva:
- F je stredobodom podobenstva;
- d je priama vodiaca čiara;
- Os symetrie je priamka cez ohnisko F a kolmá na vodiacu čiaru.
- V je vrchol paraboly.
- p je úsečka rovnakej dĺžky medzi ohniskom F a vrcholom V e, medzi vrcholom a direktívou d.
Redukované rovnice paraboly
S vrcholom v počiatku a osou symetrie na osi y.
Ak p>0 konkávnosť smerom nahor.
Ak p<0 smerom nadol konkávnosť.
S vrcholom v počiatku a osou symetrie na osi x.
Ak p>0 konkávnosť vpravo.
Ak p<0 konkávnosť doľava.
S osou symetrie rovnobežnou s osou y a vrcholom .
S osou symetrie rovnobežnou s osou x a vrcholom .
cvičiť s Cvičenia z analytickej geometrie.
Viac sa dozviete na:
karteziánsky plán
vzdialenosť medzi dvoma bodmi
kužeľovité
Výpočet uhlového koeficientu
