Cvičenia o goniometrických pomeroch

Trigonometrické pomery: sínus, kosínus a dotyčnica sú vzťahy medzi stranami pravouhlého trojuholníka. Pomocou týchto pomerov je možné určiť neznáme hodnoty uhlov a bočných meraní.

Precvičte si svoje vedomosti s vyriešenými problémami.

otázky o sínusoch

Otázka 1

byť uhol beta rovná 30° a prepona 47 m, vypočítajte meranie výšky The trojuholníka.

Pozri odpoveď

Trigonometrický sínusový pomer je kvocient medzi mierami opačnej strany uhla a prepony.

s e n priestor beta priestor rovný priestoru čitateľ k a t e t priestor o po s t o nad menovateľ h i p o t e n u s koniec zlomku s e n priestor beta priestor rovný priestoru a nad 47

Izolačné The na jednej strane rovnosť máme:

do priestoru rovného priestoru 47. s priestor a n priestor beta
Z trigonometrickej tabuľky máme, že sínus 30° sa rovná 1 polovica , pričom v rovnici dosadíme:

medzera sa rovná medzere 47,1 polovica sa rovná 23 čiarka 5

Preto je výška trojuholníka 23,50 m.

otázka 2

Pohľad zhora na park ukazuje dve cesty, ako sa dostať do bodu C z bodu A. Jednou z možností je ísť do B, kde sú pitné fontánky a odpočívadlá a potom do C. Ak chce návštevník parku ísť rovno do C, o koľko metrov prejde menej ako pri prvej možnosti?

Zvážte aproximácie:
sin 58° = 0,85
cos 58° = 0,53
tan 58° = 1,60

Pozri odpoveď

Odpoveď: opustíte A a pôjdete rovno do C, prechádzka je o 7,54 m kratšia.

instagram story viewer

Krok 1: vypočítajte vzdialenosť AB s lomkou v hornom indexe .

s a n medzera 58 stupňové znamienko sa rovná 17 nad h h sa rovná čitateľovi 17 nad menovateľom s a n medzera 58 znamienko stupňa koniec zlomku h sa rovná čitateľovi 17 nad menovateľom 0 čiarka 85 koniec zlomku sa rovná 20 m priestoru

Krok 2: určite vzdialenosť AB s lomkou v hornom indexe .

h medzera mínus medzera 9 čiarka 46 20 medzera mínus medzera 9 čiarka 46 medzera rovná sa medzera 10 čiarka 54 m medzera

Krok 3: určte vzdialenosť .

Krok 4: Určite rozdiel medzi týmito dvoma cestami.

otázka 3

Bola inštalovaná lanovka spájajúca základňu s vrcholom hory. Na inštaláciu bolo použitých 1358 m káblov usporiadaných pod uhlom 30° voči zemi. Aká vysoká je hora?

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: výška hory je 679 m.

Na určenie výšky hory môžeme použiť sínusový trigonometrický pomer.

Z trigonometrickej tabuľky máme sin 30° = 0,5. Keďže sínus je pomer medzi protiľahlou stranou a preponou, určíme výšku.

s e n 30 znamienko stupňa sa rovná čitateľovi k t e t o medzera o po s t o nad menovateľom h i p o t e n u s koniec zlomku s e n 30 znamienko stupňa rovný čitateľovi a l t u r a medzera m o n tan h a medzera nad menovateľom k o m p ri m e n t o s medzera c a b o s medzera koniec zlomku 0 čiarka 5 sa rovná čitateľovi a l t u r a medzera d a medzera m o n tan ha nad menovateľom 1358 koniec zlomku 0 čiarka 5 priestor. priestor 1358 priestor rovný priestoru al t u r a priestor m o n tan h a priestor 679 m priestor rovný priestoru l t u r priestor m o n tan h a priestor

otázka 4

(CBM-SC, vojak-2010) Na pomoc osobe v byte pri požiari, hasiči použije 30 m rebrík, ktorý bude umiestnený tak, ako je znázornené na obrázku nižšie, zvierajúc uhol so zemou zo 60. Ako ďaleko je byt od poschodia? (Použite sen60º=0,87; cos60º=0,5 a tg60º= 1,73)

a) 15 m.
b) 26,1 m.
c) 34,48 m.
d) 51,9 m.

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: b) 26,1 m.

Na určenie výšky použijeme 60° sínus. Zavolaním výšky h a použitím 60° sínusu rovného 0,87.

s a n medzera 60 stupňové znamienko sa rovná h nad 30 h sa rovná 30 medzera. s medzera a n medzera 60 stupňový znak h sa rovná 30 medzerám. medzera 0 čiarka 87 h sa rovná 26 čiarka 1 medzera m.

Otázky týkajúce sa kosínusu

otázka 5

Kosínus je pomer medzi stranou susediacou s uhlom a meraním prepony. Bytie alfa rovná 45°, vypočítajte mieru nohy susediacej s uhlom alfa v trojuholníku obrázku.

zvážiť cos medzera 45 stupňové znamienko rovná sa čitateľovi druhá odmocnina z 2 nad menovateľom 2 koniec zlomku

Pozri odpoveď

cos medzera 45 stupňové znamienko sa rovná c nad 28 28 medzerou. medzera cos medzera 45 stupňové znamienko sa rovná c 28 medzera. čitateľ priestor druhá odmocnina z 2 nad menovateľom 2 koniec zlomku sa rovná c 14 odmocnina z 2 sa rovná c

Aproximácia druhej odmocniny hodnoty 2:

14.1 čiarka 41 približne rovnaká c 19 čiarka 74 približne rovnaká medzera c

Miera susedného ramena je približne 19,74 m.

otázka 6

Počas futbalového zápasu hádže hráč 1 na hráča 2 pod uhlom 48°. Ako ďaleko musí lopta prejsť, aby sa dostala k hráčovi 2?

Zvážte:
sin 48° = 0,74
cos 48° = 0,66
tan 48° = 1,11

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: Lopta musí prejsť vzdialenosť 54,54 m.

Meradlom medzi hráčom 1 a hráčom 2 je prepona pravouhlého trojuholníka.

Kosínus uhla 48° je pomer jeho susednej strany k prepone, kde susedná strana je vzdialenosť medzi stredom poľa a veľkou oblasťou.

52,5 - 16,5 = 36 m

Výpočet kosínusu, kde h je prepona.

cos medzera 48 stupňov znak 36 nad h h rovná sa čitateľ 36 nad menovateľ cos medzera 48 stupňov znak koniec zlomku h sa rovná čitateľovi 36 nad menovateľom 0 čiarka 66 koniec zlomku h sa približne rovná 54 čiarka 54 medzera m

otázka 7

Strecha sa považuje za štít, ak sú dva svahy. V jednom diele sa buduje strecha, kde sa stretávajú jej dve vody presne v strede dosky. Uhol sklonu každej vody vo vzťahu k doske je 30°. Doska je dlhá 24 m. Pre objednanie škridiel ešte pred dokončením konštrukcie, ktorá bude niesť strechu, je potrebné poznať dĺžku každej vody, ktorá bude:

Pozri odpoveď

Keďže doska je dlhá 24 m, každá voda bude mať 12 m.
Ak nazveme dĺžku každej strešnej vody L, máme:

cos medzera 30 stupňov znak 12 nad L L sa rovná čitateľovi 12 nad menovateľom cos medzera 30 stupňov znak koniec zlomku L sa rovná čitateľ 12 nad menovateľom začiatok štýlu show čitateľa druhá odmocnina z 3 nad menovateľom 2 koniec zlomku koniec štýlu koniec zlomok rovný čitateľovi 2.12 nad 3-koncovým menovateľom druhej odmocniny zlomku rovný čitateľovi 24 nad 3-koncovým odmocniným menovateľom zlomku

Racionalizácia zlomku na získanie iracionálneho čísla druhá odmocnina z 3 menovateľa.

čitateľ 24 nad druhou odmocninou menovateľa 3 koniec zlomku. čitateľ druhá odmocnina z 3 nad menovateľ druhá odmocnina z 3 koniec zlomku sa rovná čitateľ 24 druhá odmocnina z 3 nad menovateľ druhá odmocnina z 9 koniec zlomku rovný čitateľovi 24 odmocnina z 3 nad menovateľom 3 koniec zlomku rovný 8 odmocnina štvorec 3

tvorba, druhá odmocnina z 3 sa približne rovná 1 čiarke 7

L sa rovná 8 druhej odmocnine z 3 sa rovná 8,1 bodu 7 sa rovná 13 bodom 6 medzera m

Preto bude dĺžka každej strešnej vody približne 13,6 m.

otázka 8

Tangenta je pomer medzi protiľahlou stranou uhla a jeho priľahlou stranou. byť uhol alfa rovná 60°, vypočítajte výšku trojuholníka.

Pozri odpoveď

tan medzera alfa sa rovná viac ako 34 medzera sa rovná medzere 34 medzera. tan medzera alfa medzera a rovná sa 34 medzera. medzera tan medzera 60 a rovná sa 34. druhá odmocnina z 3 m priestoru

Tangentné otázky

otázka 9

Človek chce poznať šírku rieky predtým, ako ju prekročí. Na tento účel nastaví referenčný bod na druhom okraji, ako napríklad strom (bod C). V pozícii, v ktorej sa nachádzate (bod B), prejdite 10 metrov doľava, kým medzi bodom A a bodom C nevznikne uhol 30°. Vypočítajte šírku rieky.

zvážiť druhá odmocnina z 3 sa rovná 1 bodu 73 .

Pozri odpoveď

Na výpočet šírky rieky, ktorú budeme nazývať L, použijeme tangens uhla alfa .

tan priestor alfa priestor rovný priestoru L nad 10 L rovný priestoru 10 priestor. medzera tan medzera alfa L sa rovná medzere 10 medzera. priestor čitateľ druhá odmocnina z 3 nad menovateľom 3 koniec zlomku L rovný 10 medzera. medzera čitateľ 1 čiarka 73 nad menovateľom 3 koniec zlomku L sa rovná čitateľovi 17 čiarka 3 nad menovateľom 3 koniec zlomku L približne rovný 5 čiarka 76 medzera m

otázka 10

(Enem 2020) Pergolado je názov pre typ strechy navrhnutej architektmi, bežne na námestiach a
záhrady, vytvárať pre ľudí alebo rastliny prostredie, v ktorom dochádza k poklesu množstva svetla,
v závislosti od polohy slnka. Vyrába sa ako paleta rovnakých nosníkov, umiestnených paralelne a dokonale
v rade, ako je znázornené na obrázku.

Architekt navrhuje pergolu s rozpätím 30 cm medzi trámami tak, aby v
letný slnovrat, dráha Slnka počas dňa prebieha v rovine kolmej na smer
lúče, a že popoludňajšie slnko, keď jeho lúče urobia 30° s polohou kolíka, vygenerujú polovicu
svetla, ktoré prechádza pergolou na poludnie.
Aby spĺňal návrh projektu vypracovaný architektom, trámy pergoly musia byť
skonštruované tak, aby sa výška v centimetroch čo najviac približovala

a) 9.
b) 15.
c) 26.
d) 52.
e) 60.

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: c) 26.

Aby sme pochopili situáciu, urobme si náčrt.

Obrázok vľavo ukazuje výskyt slnečného žiarenia na poludnie so 100 %. Obrázok vľavo je to, čo nás zaujíma. Prepúšťa len 50% slnečných lúčov cez pergolu pri 30% sklone.

Používame tangentový trigonometrický pomer. Tangenta uhla je pomer protiľahlej strany k susednej strane.

Ak nazveme výšku pergoly h, máme:

tan medzera 30 stupňový znak 15 nad h h rovný čitateľ medzera 15 nad menovateľ tan medzera 30 stupňový znak koniec zlomku

Vytvorenie dotyčnice 30° = druhá odmocnina čitateľ z 3 nad menovateľom 3 koniec zlomku

h sa rovná čitateľovi 15 nad menovateľom štýl začiatku show čitateľa druhá odmocnina z 3 nad menovateľom 3 koniec zlomok štýl konca koniec zlomok rovný čitateľovi 3,15 od druhej odmocniny menovateľ 3 koncov zlomok rovný čitateľovi 45 oproti odmocnine menovateľ 3 koncov zlomok

Racionalizujme posledný zlomok, aby sme v menovateli nenechali odmocninu troch, iracionálne číslo.

čitateľ 45 nad druhou odmocninou menovateľa 3 koncov zlomku. čitateľ druhá odmocnina z 3 nad menovateľ druhá odmocnina z 3 koniec zlomku sa rovná čitateľ 45 druhá odmocnina z 3 nad menovateľ druhá odmocnina z 9 koniec zlomku sa rovná čitateľovi 45 odmocnina z 3 nad menovateľom 3 koniec zlomku sa rovná 15 štvorec 3

tvorba, druhá odmocnina z 3 sa približne rovná 1 čiarke 7

Z možností dostupných pre otázku je najbližšie písmeno c, výška trámov musí byť približne 26 cm.

otázka 11

(Enem 2010) Atmosférický balón vypustený v Bauru (343 kilometrov severozápadne od São Paula) v noci minulú nedeľu padol tento pondelok v Cuiabá Paulista, v regióne Presidente Prudente, strašenie
poľnohospodárov v regióne. Artefakt je súčasťou programu Hibiscus Project, ktorý vyvinula Brazília, Francúzsko,
Argentína, Anglicko a Taliansko, aby sa zmeralo správanie ozónovej vrstvy a došlo k jej poklesu
po dodržaní predpokladaného času merania.

V deň akcie videli balón dvaja ľudia. Jeden bol 1,8 km od zvislej polohy balóna
a videl to pod uhlom 60°; druhý bol 5,5 km od vertikálnej polohy balóna, zarovnaný s balónom
najprv a v rovnakom smere, ako je vidieť na obrázku, a videl ho pod uhlom 30°.
Aká je približná výška balóna?

a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km

Pozri odpoveď

Správna odpoveď: c) 3,1 km

Použijeme 60° dotyčnicu, ktorá je rovnaká druhá odmocnina z 3 . Tangenta je trigonometrický pomer medzi opačnou stranou uhla a jeho susednou stranou.