Jednoduchý a zložený úrok sú výpočty vykonané s cieľom opraviť sumy spojené s transakciami finančná, to znamená korekcia vykonaná pri požičiavaní alebo investovaní určitej sumy počas obdobia čas.
Vyplatená alebo vyplatená suma bude závisieť od poplatku účtovaného za transakciu a obdobia, v ktorom budú peniaze požičané alebo investované. Čím vyššia je rýchlosť a čas, tým vyššia je táto hodnota.
Rozdiel medzi jednoduchým a zloženým úrokom
V jednoduchom záujme sa korekcia aplikuje na každé obdobie a zohľadňuje sa iba počiatočná hodnota. V zloženom úroku sa vykoná oprava už opravených súm.
Zložený úrok sa preto nazýva aj úrok z úroku, to znamená, že suma sa opravuje o sumu, ktorá už bola upravená.
Preto pri dlhšom období investovania alebo pôžičky oprava zloženým úrokom spôsobí, že konečná suma, ktorá sa má prijať alebo vyplatiť, bude vyššia ako suma získaná jednoduchým úrokom.
Väčšina finančných operácií využíva korekciu zloženým úrokovým systémom. Jednoduchý záujem sa obmedzuje na krátkodobé operácie.
Jednoduchý úrokový vzorec
Jednoduchý úrok sa počíta podľa tohto vzorca:
Byť,
J: úrok
C: počiatočná hodnota transakcie, nazývaná kapitálová finančná matematika
i: úroková sadzba (suma zvyčajne vyjadrená v percentách)
t: obdobie transakcie
Môžeme tiež vypočítať celkovú sumu, ktorá bude splatená (v prípade investície), alebo sumu, ktorá má byť splatená (v prípade pôžičky) na konci vopred stanoveného obdobia.
Táto hodnota, nazývaná suma, sa rovná súčtu istiny plus úroku, čo je:
Vo vyššie uvedenom vzorci môžeme nahradiť hodnotu J a pre sumu nájsť nasledujúci výraz:
Vzorec, ktorý sme našli, je afinná funkcia, takže hodnota množstva rastie lineárne ako funkcia času.
Príklad
Ak je mesačný výnos istiny 100 dolárov 25,00 dolárov mesačne, aká je ročná úroková sadzba v jednoduchom úrokovom systéme?
Riešenie
Najskôr identifikujme každé množstvo uvedené v probléme.
C = 1 000,00 BRL
J = 25,00 BRL
t = 1 mesiac
i =?
Teraz, keď sme identifikovali všetky veličiny, môžeme vo vzorci záujmu nahradiť:
Upozorňujeme však, že tento poplatok je mesačný, pretože využívame obdobie jedného mesiaca. Aby sme zistili ročný poplatok, musíme túto hodnotu vynásobiť číslom 12, takže máme:
i = 2.5.12 = 30% ročne
Zložený úrokový vzorec
Suma kapitalizovaná ako zložený úrok sa zistí pomocou nasledujúceho vzorca:
Byť,
M: suma
C: hlavné mesto
i: úroková sadzba
t: časové obdobie
Na rozdiel od jednoduchého úroku, pri tomto type kapitalizácie obsahuje vzorec na výpočet sumy exponenciálnu variáciu. Preto sa vysvetľuje, že konečná hodnota sa počas dlhších období výrazne zvyšuje.
Príklad
Vypočítajte množstvo vyprodukované 2 000 R $ uplatnené so sadzbou 4% za štvrťrok po jednom roku v systéme zloženého úroku.
Riešenie
Na základe identifikácie uvedených informácií máme:
C = 2000
i = 4% alebo 0,04 za štvrťrok
t = 1 rok = 4 štvrťroky
M =?
Nahradením týchto hodnôt vo vzorci zloženého úroku máme:
Na konci jedného roka sa teda suma bude rovnať 2 339,71 R $.
Vyriešené cvičenia
Otázka 1
Výpočet sumy
Aká je výška investície vo výške 500,00 R $ so sadzbou 3% mesačne, v období 1 roka a 6 mesiacov, v jednoduchých a zložených úrokových systémoch?
jednoduchý záujem
Údaje:
C = 500
i = 0,03
t = 18 mesiacov (1 rok + 6 mesiacov)
Sumou bude počiatočné imanie plus úroky.
M = C + J
Úroky sú:
J = C.i.t.
J = 500,0.03,18 = 270
Suma teda bude:
M = C + J
M = 500 + 270
M = 770
Odpoveď: Čiastka tejto aplikácie bude 770,00 R $.
Zložený úrok
Použitím hodnôt vo vzorci máme:
Odpoveď: Výška investície v režime zloženého úroku je 851,21 USD.
otázka 2
Výpočet kapitálu
Určitý kapitál sa uplatňoval počas obdobia 6 mesiacov. Sadzba bola 5% mesačne. Po tomto období to bola suma 5 000,00 R. Určte kapitál.
jednoduchý záujem
Uvedenie dôkazu C vo vzorci jednoduchého úroku:
M = C + J
M = C + C.i.t.
M = C (1 + i.t)
Izolácia C do rovnice:
Zložený úrok
Izolácia C vo vzorci zloženého úroku a nahradenie hodnôt:
Odpoveď: Hlavné mesto musí byť 4201,68 R $.
otázka 3
Výpočet úrokovej sadzby
Aká by bola mesačná úroková sadzba pri investícii 100 000 dolárov za osemmesačné obdobie, ktorá vyniesla čiastku 1 600,00 dolárov.
jednoduchý záujem
Uplatnenie vzorca a uvedenie dôkazu C:
M = C + J
M = C + C.i.t.
M = C (1 + i.t)
Nahradenie hodnôt a numerické výpočty:
v percentách
I = 7,5%
Zložený úrok
Použime vzorec pre zložený úrok a sumu vydelíme istinou.
otázka 4
Výpočet aplikačného obdobia (času)
Kapitál vo výške 8 000 R $ bol investovaný s mesačným úrokom 9%, čím sa získala čiastka 10360,00 R $.
Ako dlho bol tento kapitál investovaný?
jednoduchý záujem
Pomocou vzorca
Preto je čas približne 3,27 mesiaca.
Zložený úrok
V tomto kroku stojíme pred exponenciálnou rovnicou.
Aby sme to vyriešili, použijeme logaritmus s použitím logaritmu rovnakej bázy na obe strany rovnice.
Pomocou vlastnosti logaritmov na pravej strane rovnice máme:
otázka 5
UECE - 2018
Obchod predáva televízor s nasledujúcimi platobnými podmienkami: záloha vo výške 800,00 R $ a platba vo výške 450,00 R $ o dva mesiace neskôr. Ak je cena spotovej televízie 1 200,00 R, potom je v platbe jednoduchá mesačná úroková sadzba
A) 6,25%.
B) 7,05%.
C) 6,40%.
D) 6,90%.
Pri porovnaní ceny televízora v hotovosti (1 200,00 R $) a sumy zaplatenej v dvoch splátkach pozorujeme, že došlo k zvýšeniu o 50,00 R $, pretože vyplatená suma sa rovnala 1 250,00 R $ (800 +450).
Na nájdenie účtovanej sadzby môžeme použiť jednoduchý úrokový vzorec, ktorý zohľadňuje skutočnosť, že na debetný zostatok bol uplatnený úrok (televízna hodnota znížená o zálohu). Takže máme:
C = 1200 - 800 = 400
J = 450 - 400 = 50
t = 2 mesiace
J = C.i.t.
50 = 400.i.2
Alternatíva: a) 6,25%
Rovnocennosť kapitálu
Vo finančnej matematike je potrebné mať na pamäti, že sumy spojené s transakciou sa budú časom meniť.
Vzhľadom na túto skutočnosť znamená vykonanie finančnej analýzy porovnanie súčasných a budúcich hodnôt. Musíme teda mať spôsob, ako dosiahnuť ekvivalenciu kapitálu v rôznych časoch.
Keď vypočítame sumu, vo vzorci zloženého úroku nájdeme budúcu hodnotu pre t časových období so sadzbou i zo súčasnej hodnoty.
To sa deje vynásobením termínu (1 + i)č v súčasnej hodnote to je:
Naopak, ak chceme zistiť súčasnú hodnotu s vedomím budúcej hodnoty, urobíme rozdelenie, to znamená:
Príklad:
Na kúpu motocykla za vynikajúcu cenu požiadal človek o pôžičku vo výške 6 000,00 R $ od finančnej spoločnosti s 15% mesačným úrokom. O dva mesiace neskôr zaplatil 3 000,00 R a nasledujúci mesiac splatil dlh.
Aká bola výška poslednej splátky zaplatenej osobou?
Riešenie
Ak osoba dokázala splatiť dlžnú sumu z úveru, potom sa suma zaplatená v prvej splátke plus druhá splátka rovná dlžnej sume.
Splátky však boli v danom období upravené mesačným úrokom. Preto, aby sme sa zhodovali s týmito čiastkami, musíme poznať ich ekvivalentné hodnoty k rovnakému dátumu.
Ekvivalenciu vykonáme s ohľadom na čas pôžičky, ako je znázornené na nasledujúcom diagrame:
Použitie vzorca na dva a tri mesiace:
Preto bola posledná uskutočnená platba 5 675,25 USD.
Cvičenie vyriešené
otázka 6
Úver bol poskytnutý s mesačnou sadzbou i% s použitím zloženého úroku v ôsmich pevných splátkach rovnajúcich sa P.
Dlžník má možnosť kedykoľvek splatiť dlh vopred a zaplatiť zaň aktuálnu hodnotu splátok, ktoré sa ešte majú zaplatiť. Po zaplatení 5. splátky sa rozhodne splatiť dlh po zaplatení 6. splátky.
Výraz, ktorý zodpovedá celkovej sume zaplatenej za splácanie úveru, je:
Odpoveď: Písmeno a
