Permutácia je technika počítania, ktorá sa používa na určenie počtu spôsobov usporiadania prvkov konečnej množiny. Uskutočniť výmenu znamená uskutočniť výmenu a v kombinatorických problémoch to znamená výmenu prvkov miesta s ohľadom na ich usporiadanie.
Tieto techniky sú súčasťou odboru matematiky s názvom Kombinatorická analýza, ktorého cieľom je poznať a spočítať rôzne spôsoby organizovania množín a ich prvkov. Túto kategóriu problémov rieši jednoduchá permutácia a opakované prvky.
jednoduchá permutácia
Jednoduchá permutácia je usporiadanie prvkov konečnej množiny, keď sú prvky sa neopakujú, sú odlišné. Používa sa na stanovenie množstva týchto druhov.
Množstvo permutácií množiny n prvkov sa rovná n! (číta sa n faktoriál).
Vzorec na určenie počtu jednoduchých permutácií je
Zvážte množinu s n prvkami. Aby sme ich usporiadali do poradia, musíme zvoliť prvý, a na to máme n možností. Na výber druhého máme (n-1) možností, o jednu menej, pretože pri výbere prvého sme už využili možnosť. Tento proces pokračuje, kým nezostane iba jeden prvok.
Na určenie celkového počtu permutácií vynásobíme počet možností, ktoré existujú pri výbere každého prvku. Takto:
Vyššie uvedený výraz sa nazýva faktoriál n a používame symbol nie!.
naučiť sa viac o faktoriál tu.
Príklad:
Rôzne spôsoby usporiadania písmen slova sa nazývajú anagramy. Koľko anagramov existuje pre slovo KACHŇA?
Toto sú možnosti:
Pretože slovo PATO má 4 písmená, musíme
Existuje teda 24 jednoduchých permutácií pre slovo KACHŇA.
Jednoduché permutačné cvičenia
Otázka 1
Vypočítajte hodnotu .
otázka 2
Zvážte poradie ľudí, ktorí prídu skôr, ako prv vybavia fronty, kde je kedykoľvek šesť ľudí. Koľko rôznych spôsobov by mohli byť títo ľudia zoradení od prvého po posledného?
Každý objednávací formulár predstavuje jednoduchú obmenu, pretože jednotlivci sú jedineční a neopakujú sa. Takže so šiestimi ľuďmi je odpoveďou permutácia so 6 prvkami.
otázka 3
Zvážte slovo FORK a odpovedzte na nasledujúce otázky?
a) Koľko je anagramov slova FORK?
Pretože sa písmená neopakujú, jedná sa o jednoduchý 5-prvkový prípad permutácie.
b) Koľko anagramov sa začína písmenom A?
V tomto prípade opravíme písmeno A na začiatku a vypočítame permutácie písmenami GRFO, ktoré sú permutáciami 4 prvkov.
1 možnosť pre písmeno A x .
c) Koľko je anagramov, ak sú samohlásky vždy vedľa seba?
Jednou z možností by bola G R F A O.
Súhlásky možno usporiadať tromi spôsobmi. P3 = 3 x 2 x 1 = 6
Existujú dva spôsoby, ako objednať samohlásky. P2 = 2 x 1 = 2
Stále existujú ďalšie dva spôsoby, ako medzi sebou usporiadať skupiny (spoluhlásky a samohlásky). P2 = 2 x 1 = 2
Teraz iba znásobte výsledky.
P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24
Existuje teda 24 anagramov, kde sú samohlásky vždy spolu.
Permutácia s opakovaním
K permutácii s opakovanými prvkami dochádza, keď sú v množine n prvkov niektoré z nich rovnaké.
Vo vzorci na určenie počtu permutácií s opakovaním vydelíme faktoriál celkového počtu n prvkov súčinom faktoriálov opakujúcich sa prvkov.
je počet permutácií n prvkov.
sú to počty prvkov každého typu, ktoré sa opakujú.
je faktoriál z celkového počtu prvkov n.
Príklady
Poďme zistiť, koľko existuje permutácií pre slovo EGG. Aby sme to uľahčili, vyfarbíme písmená. Pozrime sa na anagramy slova EGG.
Počet jednoduchých permutácií s 3 prvkami je daný číslom
Niektoré permutácie sa však opakujú a nemôžeme ich počítať dvakrát. Z tohto dôvodu musíme rozdeliť hodnotu (pretože slovo má tri písmená), podľa
(pretože písmeno O sa opakuje dvakrát).
Počet permutácií pre písmená slova OVO sa teda rovná 3.
Pozrime sa na tento ďalší príklad, kde budeme definovať počet permutácií pre písmená slova BANANA.
Kde:
znamená permutáciu so 6 prvkami, kde sa písmená A a N opakujú.
3! lebo písmeno A sa opakuje trikrát.
2! lebo písmeno N sa opakuje dvakrát.
Tip na uľahčenie výpočtu je vývoj šestky! kým nedosiahnete 3!, zjednodušenie pomocou menovateľa. Pozrieť vývoj.
Počet permutácií pre písmená v slove BANANA sa teda rovná 60.
Možno vás zaujíma tento obsah o kombinatorickej analýze:
Kombinatorická analýza
Cvičenia z kombinatorickej analýzy
