V matematike množiny predstavujú zhromaždenie rôznych objektov a operácie vykonávané so množinami sú: zjednotenie, priesečník a rozdiel.
Pomocou 10 nasledujúcich otázok si preveríte svoje vedomosti. Použite komentované uznesenia na odstránenie svojich pochybností.
Otázka 1
Zvážte súpravy
A = {1, 4, 7}
B = {1, 3, 4, 5, 7, 8}
Je správne povedať, že:
a) A B
b) B
c) B THE
d) B THE
Správna alternatíva: b) A B.
a) NESPRÁVNE. Existujú prvky B, ktoré nepatria do množiny A. Preto nemôžeme povedať, že A obsahuje B. Správne tvrdenie by bolo B THE.
b) SPRÁVNE. Všimnite si, že všetky prvky A sú tiež prvkami B. Preto môžeme povedať, že A je obsiahnuté v B, A je súčasťou B alebo že A je podmnožinou B.
c) NESPRÁVNE. Neexistuje žiadny prvok A, ktorý by nepatril do množiny B. Preto nemôžeme povedať, že B neobsahuje A.
d) NESPRÁVNE. Pretože A je podmnožinou B, potom priesečník množín A a B je množina A sama: B A = A
otázka 2
Prezrite si nasledujúce sady a označte správnu alternatívu.
A = {x | x je kladný násobok 4}
B = {x | x je párne číslo a 4 X
16}
a) 145 THE
b) 26 A a B
c) 11 B
d) 12 A a B
Správna alternatíva: d) 12 A a B
Súbory otázok sú reprezentované ich zákonmi formovania. Množinu A teda tvoria kladné násobky 4, to znamená A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,…} a množina B zhromažďuje párne čísla väčšie alebo rovné 4 a menšie ako 16. Preto B = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.
Pri analýze alternatív máme:
a) NESPRÁVNE. 145 je číslo končiace na 5, a preto je násobkom 5.
b) NESPRÁVNE. 26, hoci je párne číslo, je väčšie ako 16, a preto nie je súčasťou množiny B.
c) NESPRÁVNE. 11 nie je párne číslo, ale prvočíslo, to znamená, že je deliteľné iba 1 a sebou samým.
d) SPRÁVNE. 12 patrí do množín A a B, pretože je násobkom 4 a je párne číslo väčšie ako 4 a menšie ako 16.
otázka 3
Aký je možný zákon formovania množiny A = {2, 3, 5, 7, 11}?
a) A = {x | x je symetrické číslo a 2 b) A = {x | x je prvočíslo a 1 c) A = {x | x je kladné nepárne číslo a 1 d) A = {x | x je prirodzené číslo menšie ako 10}
Správna alternatíva: b) A = {x | x je prvočíslo a 1
a) NESPRÁVNE. Symetrické čísla, ktoré sa tiež nazývajú protiklady, sa objavujú v rovnakej vzdialenosti na číselnej čiare. Napríklad 2 a - 2 sú symetrické.
b) SPRÁVNE. Prezentovaná množina je prvočísel, pričom 2 sú najmenšie existujúce prvočísla a zároveň jediné, ktoré je párne.
c) NESPRÁVNE. Aj keď je väčšina čísel nepárnych, v súprave je číslo 2, ktoré je párne.
d) NESPRÁVNE. Aj keď sú všetky čísla prirodzené, súprava obsahuje číslo 11, ktoré je väčšie ako 10.
otázka 4
Spojenie množín A = {x | x je prvočíslo a 1
a) A B = {1,2,3,5,7}
b) B = {1,2,3,5,7}
c) B = {1,2,3,5,7}
dáva B = {1,2,3,5,7}
Správna alternatíva: d) A B = {1, 2, 3, 5, 7}
Pre množinu A = {x | x je prvočíslo a 1
A = {2, 3, 5, 7}
B = {1, 3, 5, 7}
a) NESPRÁVNE. A neobsahuje B, pretože prvok 1 nie je súčasťou A.
b) NESPRÁVNE. A nie je obsiahnuté v B, pretože prvok 2 nie je súčasťou B.
c) NESPRÁVNE. A nepatrí do B, pretože množiny majú odlišný prvok.
d) SPRÁVNE. Spojenie množín zodpovedá spojeniu prvkov, ktoré ich tvoria, a je reprezentované symbolom .
Preto spojenie A = {2, 3, 5, 7} a B = {1, 3, 5, 7} je A U B = {1, 2, 3, 5, 7}.
otázka 5
Zostavte zostavy A = {-3, - 1, 0, 1, 6, 7}, B = {-4, 1, 3, 5, 6, 7} a C = {-5, - 3, 1, 2, 3, 5} na Vennovom diagrame a potom určte:
a) A B
b) C B
c) C - A
d) B (THE
Ç)
Správna odpoveď:
a) {1, 6, 7};
b) {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7};
c) {-5, 2, 3, 5} a
d) {1, 3, 5, 6, 7}.
Distribuovaním prvkov množín vo Vennovom diagrame máme:
Pri vykonávaní operácií s danými množinami máme nasledujúce výsledky:
a) A B = {1, 6, 7}
b) C B = {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}
c) C - A = {-5, 2, 3, 5}
d) B (THE
C) = {1, 3, 5, 6, 7}
otázka 6
Všimnite si šrafovanú oblasť obrázku a označte alternatívu, ktorá ju predstavuje.
a) C (THE
B)
b) C - (A B)
c) C (A - B)
d) C (THE
B)
Správna odpoveď: b) C - (A B)
Všimnite si, že šrafovaná oblasť predstavuje prvky, ktoré nepatria do množín A a B. Preto ide o rozdiel medzi množinami, ktorý označíme (-).
Pretože množiny A a B majú rovnakú farbu, môžeme povedať, že existuje znázornenie spojenia množín, to znamená spojenie prvkov A a B, ktoré predstavuje A B.
Preto môžeme povedať, že šrafovaná oblasť je rozdiel C od spojenia A a B, to znamená C - (A B).
otázka 7
V preduniverzitnom kurze je 600 študentov zapísaných do izolovaných predmetov. 300 študentov študuje matematiku, 200 študentov navštevuje kurzy portugalčiny a 150 študentov tieto predmety nenavštevuje.
Ak vezmeme do úvahy študentov zapísaných do kurzu (U), študentov maturujúcich (M) a študentov portugalských (P), určte:
a) počet študentov matematiky alebo portugalčiny
b) počet študentov matematiky a portugalčiny
Správna odpoveď:
a) n (M P) = 450
b) n (M P) = 50
a) počet požadovaných študentov zahŕňa študentov matematiky aj portugalčiny. Preto musíme nájsť spojenie týchto dvoch množín.
Výsledok možno vypočítať odpočítaním celkového počtu študentov v škole od počtu študentov, ktorí tieto predmety neabsolvujú.
n (M. P) = n (U) - 150 = 600 - 150 = 450
b) keďže požadovaný výsledok je od študentov študujúcich matematiku a portugalčinu, musíme nájsť priesečník množín, to znamená prvkov spoločných pre obe množiny.
Priesečník dvoch množín môžeme vypočítať sčítaním počtu študentov zapísaných do predmetov Portugalčina a matematika a potom sa odpočíta počet študentov študujúcich tieto dva predmety súčasne čas.
n (M. P) = n (M) + n (P) - n (M
P) = 300 + 200 - 450 = 50
otázka 8
Medzi numerické množiny patria nasledujúce množiny: Prirodzené (ℕ), Celé (ℤ), Rationals (ℚ), Iracionálne (I), Skutočné (ℝ) a Komplexy (ℂ). Na vyššie uvedených množinách označte definíciu, ktorá zodpovedá každej z nich.
1. prirodzené čísla |
() pokrýva všetky čísla, ktoré je možné zapísať ako zlomok, s celočíselným čitateľom a menovateľom. |
| 2. celé čísla | () zodpovedá spojeniu racionálnych s iracionálnymi. |
| 3. racionálne čísla | () sú desatinné, nekonečné a neperiodické čísla a nemôžu byť reprezentované neredukovateľnými zlomkami. |
| 4. iracionálne čísla | () je tvorené číslami, ktoré používame v počtoch {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...} |
| 5. reálne čísla | () Zahŕňa korene typu √-n. |
| 6. Komplexné čísla | () zhromažďuje všetky prvky prirodzených čísel a ich protiklady. |
Správna odpoveď: 3, 5, 4, 1, 6, 2.
(3) racionálne čísla pokryť všetky čísla, ktoré je možné zapísať ako zlomok, s celočíselným čitateľom a menovateľom. Táto sada obsahuje nepresné rozdelenia. ℚ = {x = a / b, s a ∈ ℤ, b ∈ ℤ a b ≠ 0}
(5) reálne čísla zodpovedajú spojeniu racionálnych s iracionálnymi, teda ℝ = ℚ ∪ I.
(4) iracionálne čísla sú to desatinné čísla, nekonečné a neperiodické čísla a nemôžu byť reprezentované neredukovateľnými zlomkami. Čísla v tejto skupine vyplývajú z operácií, ktorých výsledok nebolo možné zapísať ako zlomok. Napríklad na √ 2.
(1) prirodzené čísla sú tvorené číslami, ktoré používame v počtoch ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8, ...}.
(6) komplexné čísla zahrnúť korene typu √-n a tak je to rozšírenie reálnych čísel.
(2) celé čísla spojiť všetky prvky prirodzených čísel a ich protiklady. Aby bolo možné vyriešiť všetky odčítania, napríklad 7 - 10, bola rozšírená množina prirodzených prvkov, čím sa objavila množina celých čísel. ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}
otázka 9
(Adaptované UNB) Z 200 ľudí, ktorí boli dotazovaní na ich preferencie pri sledovaní závodných šampionátov v televízii, boli zhromaždené nasledujúce údaje:
- 55 respondentov nesleduje;
- 101 sledovacích pretekov formuly 1;
- 27 sleduje preteky formuly 1 a motoriek;
Koľko z opýtaných sleduje výlučne motocyklové preteky?
a) 32
b) 44
c) 56
d) 28
Správna odpoveď: b) 44.
Krok 1: Určite celkový počet ľudí sledujúcich preteky
Na to musíme odpočítať celkový počet respondentov od tých, ktorí vyhlásili, že sa nezúčastnia závodných majstrovstiev.
200 - 55 = 145 ľudí
2. krok: vypočítajte počet ľudí, ktorí sledujú iba preteky na motorkách
74 + 27 + (x - 27) = 145
x + 74 = 145
x = 145 - 74
x = 71
Po odčítaní hodnoty x od priesečníka dvoch množín nájdeme počet respondentov, ktorí sledujú iba rýchlostné preteky motocyklov.
71 - 27 = 44
otázka 10
(UEL-PR) V danom čase mali tri televízne kanály vo svojom programovaní telenovely v hlavnom vysielacom čase: telenovela A na kanáli A, telenovela B na kanáli B a telenovela C na kanáli C. V prieskume medzi 3000 ľuďmi sa pýtalo, ktoré telenovely sa im páčili. Nasledujúca tabuľka udáva počet divákov, ktorí označili telenovely ako príjemné.
| Telenovely | Počet divákov |
| THE | 1450 |
| B | 1150 |
| Ç | 900 |
| A a B | 350 |
| A a C. | 400 |
| B a C | 300 |
| A, B a C. | 100 |
Koľkým z opýtaných divákov nie je žiadna z troch telenoviel príjemná?
a) 300 divákov.
b) 370 divákov.
c) 450 divákov.
d) 470 divákov.
e) 500 divákov.
Správna odpoveď: c) 450 divákov.
Je tu 450 divákov, ktorým ani jedna z troch telenoviel nepríde príjemná.
Viac informácií nájdete v nasledujúcich textoch:
- Teória množín
- Operácie so súpravami
- Číselné množiny
- Cvičenia z numerických množín
