Pythagorova veta naznačuje, že v pravom trojuholníku sa miera prepočítanej na druhú rovná súčtu štvorcov mierok nohy.
Využite výhody vyriešených a komentovaných cvičení na zodpovedanie všetkých svojich pochybností o tomto dôležitom obsahu.
Navrhované cvičenia (s rozlíšením)
Otázka 1
Carlos a Ana odišli z toho istého miesta domov, do práce, do garáže budovy, kde žijú. Po 1 min po kolmej ceste boli od seba 13 m.
Ak Carlosovo auto za ten čas najazdilo o 7 m viac ako Ana, ako ďaleko boli od garáže?
a) Carlos bol 10 m od garáže a Ana bola 5 m.
b) Carlos bol 14 m od garáže a Ana bola 7 m.
c) Carlos bol 12 m od garáže a Ana bola 5 m.
d) Carlos bol 13 m od garáže a Ana bola 6 m.
Správna odpoveď: c) Carlos bol 12 m od garáže a Ana bola 5 m.
Strany pravého trojuholníka tvorené v tejto otázke sú:
- prepona: 13 m
- väčšia noha: 7 + x
- kratšia noha: x
Použitím hodnôt v Pytagorovej vete máme:
Teraz použijeme Bhaskarov vzorec na nájdenie hodnoty x.
Pretože ide o mieru dĺžky, musíme použiť kladnú hodnotu. Preto strany pravého trojuholníka tvorené v tejto otázke sú:
- prepona: 13 m
- dlhšia noha: 7 + 5 = 12 m
- kratšia noha: x = 5 m
Ana teda bola 5 metrov od garáže a Carlos 12 metrov.
otázka 2
Carla pri hľadaní svojho mačiatka ho uvidela na vrchole stromu. Potom požiadala matku o pomoc a oni pri stromčeku umiestnili rebrík, ktorý mačke pomohol dole.
Ak viete, že mačka bola 8 metrov od zeme a základňa rebríka bola umiestnená 6 metrov od stromu, ako dlho sa rebrík používal na záchranu mačiatka?
a) 8 metrov.
b) 10 metrov.
c) 12 metrov.
d) 14 metrov.
Správna odpoveď: b) 10 metrov.
Upozorňujeme, že výška, v ktorej je mačka, a vzdialenosť, v ktorej je umiestnená základňa rebríka, tvoria pravý uhol, to znamená uhol 90 stupňov. Pretože je rebrík umiestnený oproti pravému uhlu, potom jeho dĺžka zodpovedá prepone pravého trojuholníka.
Použitím hodnôt uvedených v Pythagorovej vete zistíme hodnotu prepočtu.
Preto je rebrík dlhý 10 metrov.
otázka 3
Ktorá predstavuje hodnoty pravého trojuholníka podľa opatrení uvedených v alternatívach nižšie?
a) 14 cm, 18 cm a 24 cm
b) 21 cm, 28 cm a 32 cm
c) 13 cm, 14 cm a 17 cm
d) 12 cm, 16 cm a 20 cm
Správna odpoveď: d) 12 cm, 16 cm a 20 cm.
Aby sme zistili, či predložené miery tvoria pravý trojuholník, musíme na každú alternatívu použiť Pytagorovu vetu.
a) 14 cm, 18 cm a 24 cm
b) 21 cm, 28 cm a 32 cm
c) 13 cm, 14 cm a 17 cm
d) 12 cm, 16 cm a 20 cm
Preto miery 12 cm, 16 cm a 20 cm zodpovedajú stranám pravého trojuholníka, pretože štvorec prepony, najdlhšia strana, sa rovná súčtu štvorca nôh.
otázka 4
Všimnite si nasledujúce geometrické obrazce, ktoré majú jednu stranu umiestnenú v prepone pravého trojuholníka s rozmermi 3 m, 4 ma 5 m.
Nájdite výšku (h) rovnostranného trojuholníka BCD a hodnotu uhlopriečky (d) štvorca BCFG.
a) h = 4,33 ma d = 7,07 m
b) h = 4,72 ma d = 8,20 m
c) h = 4,45 ma d = 7,61 m
d) h = 4,99 ma d = 8,53 m
Správna odpoveď: a) h = 4,33 ma d = 7,07 m.
Pretože je trojuholník rovnostranný, znamená to, že jeho tri strany majú rovnakú mieru. Nakreslením čiary, ktorá zodpovedá výške trojuholníka, rozdelíme ho na dva pravé trojuholníky.
To isté platí pre štvorec. Keď nakreslíme jeho diagonálnu čiaru, môžeme vidieť dva pravé trojuholníky.
Použitím údajov z výrazu v Pythagorovej vete zistíme tieto hodnoty:
1. Výpočet výšky trojuholníka (pravého ramena trojuholníka):
Potom prídeme k vzorcu na výpočet výšky. Teraz stačí nahradiť hodnotu L a vypočítať ju.
2. Výpočet uhlopriečky štvorca (prepona pravého trojuholníka):
Preto je výška rovnostranného trojuholníka BCD 4,33 a hodnota uhlopriečky štvorca BCFG je 7,07.
Pozri tiež: Pytagorova veta
Problémy s prijímacími skúškami boli vyriešené
otázka 5
(Cefet / MG - 2016) Drak, ktorého obrázok je uvedený nižšie, bol postavený vo štvorbokom formáte ABCD a bol a
. palicu
draka pretína tyč
v jeho strede E a vytvára pravý uhol. Pri stavbe tohto draka boli použité opatrenia:
použité sú 25 cm, respektíve 20 cm, a meranie
rovná sa
opatrenia
.
Za týchto podmienok sa opatrenie , v cm, sa rovná
a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.
Správna alternatíva: c) 55.
Pri pozorovaní obrázka otázky vidíme, že segment DE, ktorý chceme nájsť, je rovnaký ako segment BD odpočítaním segmentu BE.
Takže, ako vieme, že segment BE sa rovná 20 cm, musíme nájsť hodnotu segmentu BD.
Upozorňujeme, že problém nám poskytuje nasledujúce informácie:
Aby sme našli mieru BD, potrebujeme poznať hodnotu segmentu AC.
Pretože bod E rozdeľuje segment na dve rovnaké časti (stred), potom . Prvým krokom je preto nájdenie miery segmentu CE.
Na nájdenie merania CE sme zistili, že trojuholník BCE je obdĺžnik, BC je prepona a BE a CE nohy, ako je to znázornené na obrázku nižšie:
Potom použijeme Pytagorovu vetu, aby sme našli mieru nohy.
252 = 202+ x2
625 = 400 + x2
X2 = 625 - 400
X2 = 225
x = √225
x = 15 cm
Aby sme našli obojok, mohli sme tiež pozorovať, že trojuholník je Pytagorejský, to znamená, že rozmery jeho strán sú násobkom počtu meraní trojuholníka 3, 4, 5.
Keď teda vynásobíme 4 a 5, máme hodnotu obojku (20) a ak vynásobíme 5 a 5, máme preponu (25). Druhá noha preto mohla mať iba 15 (5. 3).
Teraz, keď sme našli hodnotu EC, môžeme nájsť ďalšie opatrenia:
AC = 2. CE ⇒ AC = 2,15 = 30 cm
Preto je miera sa rovná 55 cm.
Pozri tiež: Pytagoras
otázka 6
(IFRS - 2017) Zvážte rovnostranný trojuholník so stranou 5√3 ܿ݉. Aká je výška a plocha tohto trojuholníka?
Správna alternatíva: e) 7,5 cm a 75√3 / 4 cm2
Najskôr nakreslíme rovnostranný trojuholník a vykreslíme výšku, ako je to znázornené na obrázku nižšie:
Upozorňujeme, že výška rozdeľuje základňu na dva segmenty rovnakej miery, pretože trojuholník je rovnostranný. Upozorňujeme tiež, že trojuholník ACD na obrázku je pravý trojuholník.
Aby sme teda našli výškovú mieru, použijeme Pytagorovu vetu:
Ak poznáme meranie výšky, môžeme túto oblasť nájsť pomocou vzorca:
otázka 7
(IFRS - 2016) Na nasledujúcom obrázku je hodnota x, respektíve y
Správna alternatíva: a) 4√2 a √97.
Na zistenie hodnoty x použijeme Pytagorovu vetu na pravý trojuholník, ktorý má strany rovné 4 cm.
X2 = 42 + 42
X2 = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm
Na zistenie hodnoty y použijeme tiež Pythagorovu vetu, ktorá teraz uváži, že jedna noha meria 4 cm a druhá 9 cm (4 + 5 = 9).
r2 = 42 + 92
r2 = 16 + 81
y = √97 cm
Preto je hodnota x a y v uvedenom poradí 4√2 a √97.
otázka 8
(Apprentice Sailor - 2017) Pozrite sa na obrázok nižšie.
Na obrázku vyššie je rovnoramenný trojuholník ACD, v ktorom segment AB meria 3 cm, nerovná strana AD meria 10√2 cm a segmenty AC a CD sú kolmé. Preto je správne konštatovať, že segment BD meria:
a) √ 53 cm
b) √97 cm
c) √ 111 cm
d) √ 149 cm
e) √ 161 cm
Správna alternatíva: d) √ 149 cm
Vzhľadom na informácie uvedené v probléme zostavujeme nasledujúci obrázok:
Podľa obrázku zistíme, že na zistenie hodnoty x bude potrebné nájsť mieru strany, ktorú nazývame a.
Pretože trojuholník ACD je obdĺžnik, použijeme Pythagorovu vetu na nájdenie hodnoty nohy a.
Teraz, keď poznáme hodnotu a, môžeme nájsť hodnotu x zvážením pravouhlého trojuholníka BCD.
Upozorňujeme, že noha BC sa rovná rozmeru nohy mínus 3 cm, to znamená 10 - 3 = 7 cm. Aplikovaním Pythagorovej vety na tento trojuholník máme:
Preto je správne konštatovať, že segment BD meria √ 149 cm.
otázka 9
(IFRJ - 2013) Športový dvor v areáli univerzity Arrozal federálneho inštitútu je obdĺžnikový, 100 m dlhý a 50 m široký, na tomto obrázku predstavuje obdĺžnik ABCD.
Alberto a Bruno sú dvaja študenti, ktorí športujú na nádvorí. Alberto kráča z bodu A do bodu C pozdĺž uhlopriečky obdĺžnika a rovnakou cestou sa vracia do východiskového bodu. Bruno vychádza z bodu B, úplne obchádza dvor, kráča po bočných líniách a vracia sa do východiskového bodu. Ak teda vezmeme do úvahy √5 = 2,24, uvádza sa, že Bruno chodil viac ako Alberto
a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.
Správna alternatíva: c) 76 m.
Uhlopriečka obdĺžnika ho rozdeľuje na dva pravé trojuholníky, pričom prepona je uhlopriečka a strany sa rovnajú stranám obdĺžnika.
Na výpočet diagonálnej miery teda použijeme Pytagorovu vetu:
Zatiaľ čo Alberto išiel a vrátil sa, tak prešiel 224 m.
Bruno prešiel vzdialenosť rovnajúcu sa obvodu obdĺžnika, inými slovami:
p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m
Bruno preto išiel o 76 m dlhšie ako Alberto (300 - 112 = 76 m).
otázka 10
(Enem - 2017) Na ozdobenie detského párty stola použije kuchár sférický melón s priemerom 10 cm, ktorý poslúži ako podpora pri špízovaní rôznych sladkostí. Z melónu odstráni sférický puklicu, ako je to znázornené na obrázku, a aby sa zabezpečila stabilita tejto podpory, čím sa melónu sťažuje kotúľanie sa po stole, šéf sekne tak, aby bol polomer r kruhového rezu chlpatý. mínus 3 cm. Na druhej strane, kuchár bude chcieť mať čo najväčšiu plochu v regióne, kde budú sladkosti zafixované.
Aby dosiahol všetky svoje ciele, musí šéf rezať melónovú čiapku vo výške h, v centimetroch, ktorá sa rovná
Správna alternatíva: c) 1
Na základe obrázku uvedeného v otázke sme zistili, že výšku h možno zistiť znížením miery segmentu OA od miery polomeru gule (R).
Polomer gule (R) sa rovná polovici jej priemeru, ktorý sa v tomto prípade rovná 5 cm (10: 2 = 5).
Musíme teda zistiť hodnotu segmentu OA. Z tohto dôvodu zvážime trojuholník OAB znázornený na obrázku nižšie a použijeme Pytagorovu vetu.
52 = 32 + x2
X2 = 25 - 9
x = √16
x = 4 cm
Hodnotu x sme mohli nájsť priamo aj s tým, že ide o Pytagorovský trojuholník 3,4 a 5.
Takže hodnota h sa bude rovnať:
h = R - x
h = 5 - 4
v = 1 cm
Preto by mal kuchár rezať melónový uzáver vo výške 1 cm.
otázka 11
(Enem - 2016 - 2. prihláška) Boccia je šport, ktorý sa hrá na kurtoch, ktoré sú rovného a rovného terénu ohraničeného obvodovými drevenými plošinami. Cieľom tohto športu je hodiť guľky, čo sú guľky vyrobené zo syntetického materiálu, aby sa tak stalo umiestnite ich čo najbližšie k bolimu, ktorým je predtým menšia guľa, najlepšie z ocele spustený. Obrázok 1 zobrazuje bocce loptu a bolim, ktoré sa hrali na ihrisku. Predpokladajme, že hráč vhodil loptu s polomerom 5 cm, ktorá sa oprela o bolim, s polomerom 2 cm, ako je znázornené na obrázku 2.
Považujte bod C za stred lopty a bod O za stred lopty. Je známe, že A a B sú body, v ktorých sa boccia lopta a bollinka dotknú zeme dvorca, a že vzdialenosť medzi A a B sa rovná d. Aký je za týchto podmienok pomer medzi d a polomerom bolim?
Správna alternatíva: e) √10
Aby sme vypočítali hodnotu vzdialenosti d medzi bodmi A a B, vytvorme útvar spájajúci stredy dvoch gúľ, ako je uvedené nižšie:
Upozorňujeme, že modrá bodkovaná postava má tvar lichobežníka. Rozdeľme tento trapéz, ako je uvedené nižšie:
Rozdelením lichobežníka získame obdĺžnik a pravý trojuholník. Prepona trojuholníka sa rovná súčtu polomeru guľky bocce s polomerom bolimu, to znamená 5 + 2 = 7 cm.
Meranie jednej z nôh sa rovná d a meranie druhej nohy sa rovná meraniu segmentu CA, čo je polomer guľky bocce, mínus polomer bolimu (5 - 2 = 3) .
Týmto spôsobom môžeme nájsť mieru d aplikáciou Pytagorovej vety na tento trojuholník, čo je:
72 = 32 - z2
d2 = 49 - 9
d = √40
d = 2 √10
Preto bude pomer medzi vzdialenosťou d a bolim daný:.
otázka 12
(Enem - 2014) Denne rezidencia spotrebuje 20 160 Wh. Táto rezidencia má 100 solárnych článkov obdĺžnikové (zariadenia schopné premieňať slnečné svetlo na elektrickú energiu) s rozmermi 6 cm x 8 cm. Každá takáto bunka produkuje počas dňa 24 Wh na centimeter uhlopriečky. Majiteľ tohto domu chce za deň vyrobiť presne rovnaké množstvo energie, ktoré jeho dom spotrebuje. Čo by mal tento vlastník pre neho urobiť, aby dosiahol svoj cieľ?
a) Odstráňte 16 buniek.
b) Odstráňte 40 buniek.
c) Pridajte 5 buniek.
d) Pridajte 20 buniek.
e) Pridajte 40 buniek.
Správna alternatíva: a) Odstráňte 16 buniek.
Najskôr budete musieť zistiť, aký je energetický výstup každej bunky. Na to musíme nájsť mieru uhlopriečky obdĺžnika.
Uhlopriečka sa rovná preponu trojuholníka s nohami rovnými 8 cm a 6 cm. Potom vypočítame uhlopriečku pomocou Pytagorovej vety.
Pozorujeme však, že predmetný trojuholník je Pytagorejský, čo je násobok trojuholníka 3,4 a 5.
Týmto spôsobom bude meranie prepony rovné 10 cm, pretože strany Pytagorovho trojuholníka 3,4 a 5 sa vynásobia dvoma.
Teraz, keď poznáme diagonálne meranie, môžeme vypočítať energiu vyrobenú 100 bunkami, tj:
E = 24. 10. 100 = 24 000 Wh
Pretože spotrebovaná energia sa rovná 20 160 Wh, budeme musieť znížiť počet článkov. Aby sme našli toto číslo, urobíme:
24 000 - 20 160 = 3 840 Wh
Keď túto hodnotu vydelíme energiou vyrobenou bunkou, zistíme počet, ktorý by sa mal znížiť, to znamená:
3 840: 240 = 16 buniek
Preto by pre neho vlastníkom malo byť pri dosiahnutí jeho cieľa odstránenie 16 buniek.
Ak sa chcete dozvedieť viac, prečítajte si tiež: Trigonometrické cvičenia