Vzdialenosť medzi dvoma bodmi

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi je mierou úsečky, ktorá ich spája.

Toto opatrenie môžeme vypočítať pomocou analytickej geometrie.

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rovine

V rovine je bod úplne určený s vedomím usporiadaného páru (x, y), ktorý je s ním spojený.

Aby sme poznali vzdialenosť medzi dvoma bodmi, spočiatku ich budeme reprezentovať v karteziánskej rovine a potom túto vzdialenosť vypočítame.

Príklady:

1) Aká je vzdialenosť medzi bodom A (1.1) a bodom B (3.1)?

d (A, B) = 3 - 1 = 2

2) Aká je vzdialenosť medzi bodom A (4.1) a bodom B (1,3)?

Upozorňujeme, že vzdialenosť medzi bodom A a bodom B sa rovná prepone pravého trojuholníka s nohami 2 a 3.

Takže použijeme Pytagorova veta na výpočet vzdialenosti medzi danými bodmi.

[d (A, B)]² = 3² + 2² = √13

Vzorec vzdialenosti medzi dvoma bodmi v rovine

Aby sme našli vzorec vzdialenosti, môžeme zovšeobecniť výpočet vykonaný v príklade 2.

Pre akékoľvek dva body, ako napríklad A (x₁rr₁) a B (x₂r₂), máme:

Ak sa chcete dozvedieť viac, prečítajte si tiež:

• rovinná geometria
• Karteziánsky plán
• rovno

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi v priestore

Na reprezentáciu bodov v priestore používame trojrozmerný súradnicový systém.

Bod je v priestore úplne určený, ak je s ním spojený usporiadaný trojnásobok (x, y, z).

Aby sme našli vzdialenosť medzi dvoma bodmi v priestore, spočiatku ich môžeme reprezentovať v súradnicovom systéme a odtiaľ vykonať výpočty.

Príklad:

Aká je vzdialenosť medzi bodom A (3,1,0) a bodom B (1,2,0)?

V tomto príklade vidíme, že body A a B patria do roviny xy.

Vzdialenosť bude daná:

[d (A, B)]² = 1² + 2² = √5

Vzorec vzdialenosti medzi dvoma bodmi v priestore

Ak sa chcete dozvedieť viac, prečítajte si tiež:

• Priestorová geometria
• Rovnica priamky
• Matematické vzorce

Vyriešené cvičenia

1) Bod A patrí k osi úsečky (os x) a je rovnako vzdialený od bodov B (3.2) a C (-3,4). Aké sú súradnice bodu A?

Pozri odpoveď

Pretože bod A patrí k osi úsečky, potom je jeho súradnica (a, 0). Musíme teda nájsť hodnotu a.

(0 - 3)² + (až - 2)² = (0 + 3)² + (až -4)²
9+ až² - 4a +4 = 9 + a² - 8. + 16
4. = 12
a = 3
(3.0) sú súradnice bodu A.

2) Vzdialenosť od bodu A (3, a) k bodu B (0.2) sa rovná 3. Vypočítajte súradnicovú hodnotu a.

Pozri odpoveď

3² = (0 - 3)² + (2 - a)²
9 = 9 + 4 - 4a + a²
The² - 4. +4 = 0
a = 2

3) ENEM - 2013

V posledných rokoch prešla televízia skutočnou revolúciou, čo sa týka kvality obrazu, zvuku a interaktivity s divákom. Táto transformácia je spôsobená konverziou analógového signálu na digitálny signál. Mnoho miest však stále nemá túto novú technológiu. V snahe priniesť tieto výhody trom mestám chce televízia postaviť novú vysielaciu vežu, ktorá vysiela signál do antén A, B a C, ktoré už v týchto mestách existujú. Umiestnenia antén sú znázornené v karteziánskej rovine:

Veža musí byť umiestnená v rovnakej vzdialenosti od troch antén. Správne miesto pre stavbu tejto veže zodpovedá súradnicovému bodu

a) (65; 35)
b) (53; 30)
c) (45; 35)
d) (50; 20)
e) (50; 30)

Pozri odpoveď

Správna alternatíva e: (50; 30)

Pozri tiež: vzdialenosť medzi dvoma bodovými cvičeniami

4) ENEM - 2011

Susedstvo mesta sa plánovalo v rovinatom regióne s rovnobežnými a kolmými ulicami vymedzujúcimi bloky rovnakej veľkosti. V nasledujúcej karteziánskej súradnicovej rovine sa toto susedstvo nachádza v druhom kvadrante a vzdialenosti v
osi sú uvedené v kilometroch.

Priamka rovnice y = x + 4 predstavuje plánovanie trasy metra, ktorá bude prechádzať cez susedné a ďalšie regióny mesta.
V bode P = (-5,5) sa nachádza verejná nemocnica. Komunita požiadala plánovací výbor, aby naplánoval stanicu metra tak, aby jej vzdialenosť od nemocnice, meraná po priamke, nebola väčšia ako 5 km.
V reakcii na žiadosť komunity výbor správne argumentoval, že to bude automaticky splnené, pretože s výstavbou stanice v danom mieste sa už počítalo.

a) (-5,0)
b) (-3,1)
c) (-2,1)
d) (0,4)
e) (2,6)

Pozri odpoveď

Správna alternatíva b: (-3,1).

Pozri tiež: cvičenia z analytickej geometrie