Hovoríme, že prirodzené číslo je dokonalé, ak sa rovná súčtu všetkých jeho faktorov (deliteľov), okrem seba. Napríklad 6 a 28 sú dokonalé čísla, pozri:
6 = 1 + 2 + 3 (koeficienty 6: 1, 2, 3 a 6), číslo 6 vylučujeme.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (faktory 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28), 28 vylučujeme.
Mersenne čísla sú čísla v tvare Mn = 2n - 1. Dokonca si myslel, že tento výraz bude schopný vypočítať možné prvočísla vzhľadom na n = prvočísla, ale neskôr sa ukázalo, že mal takmer pravdu. Napríklad:
M1 = 21 – 1 = 1
M2 = 22 - 1 = 3 → n = 2 (bratranec), M2 = 3 (bratranec)
M3 = 23 - 1 = 7 → n = 3 (bratranec), M3 = 7 (bratranec)
M4 = 24 – 1 = 15
M5 = 25 - 1 = 31 → n = 5 (bratranec), M5 = 31 (bratranec)
M6 = 26 – 1 = 63
M7 = 27 - 1 = 127 → n = 7 (bratranec), M7 = 127 (bratranec)
M8 = 28 – 1 = 255
M9 = 29 – 1 = 511
M10 = 210 – 1 = 1023
M11 = 211 - 1 = 2047 → n = 11 (bratranec), M11 = 2047 (nie prime)
M13 = 213 - 1 = 8191 → n = 13 (bratranec), M13 = 8191 (bratranec)
V postupnosti prvočísel sú prvky, ktoré sa vo Mersennovom vzorci negenerujú prvočíslo, napríklad číslo 11, keď sa vzorec použil pri výpočte roku 2047, číslo nie bratranec.
Znalosť dokonalých čísel sa pripisuje Euklidovi, slávnemu gréckemu matematikovi, ktorý založil geometriu. Metóda, ktorú používa, sa začína 1 pridaním mocnin 2 k prvočíslu. Dokonalé číslo sa potom získa vynásobením súčtu poslednou mocninou 2.
Všimnite si vzťah medzi dokonalým číslom a Mersennovými prvočíslami.
od Marka Noaha
Vyštudoval matematiku
Brazílsky školský tím
Číselné množiny - Matematika - Brazílska škola
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/mersenne-numeros-primos-numeros-perfeitos.htm