THE Charakterizuje sa rovnica 2. stupňa pre jedného polynóm stupňa 2, teda polynóm typu ax2+ bx + c, kde The, B a ç oni sú reálne čísla. Pri riešení rovnice 2. stupňa máme záujem nájsť hodnoty pre neznáme. X čím sa hodnota výrazu rovná 0, čo sa nazýva korene, to znamená os2 + bx + c = 0.
Čítajte tiež: Rozdiely medzi funkciou a rovnicou
Typy rovníc 2. stupňa
Rovnica 2. stupňa môže byť predstavované ax² + bx + c = 0, kde sú koeficienty The, B a ç sú skutočné čísla, s The ≠ 0.
→ Príklady
a) 2x2 + 4x - 6 = 0 → a = 2; b = 4 a c = - 6
b) x2 - 5x + 2 = 0 → a = 1; b = - 5 a c = 2
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 a c = -1
Rovnica 2. stupňa je klasifikovaná ako kompletný keď sú všetky koeficienty odlišné od 0, to znamená, The ≠ 0, B ≠ 0 a ç ≠ 0.
Rovnica 2. stupňa je klasifikovaná ako neúplné keď hodnota koeficientov B alebo ç sú rovné 0, to znamená b = 0 alebo c = 0.
→ Príklady
a) 2x2 - 4 = 0 → a = 2; b = 0 a c = - 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = - 1; b = 3 a c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b = 0 a c = 0
Hlavy hore: hodnota koeficientu The nikdy sa nerovná 0, ak sa tak stane, rovnica už nie je 2. stupňa.
Ako vyriešiť rovnice 2. stupňa?
Riešenie rovnice 2. stupňa nastane, keď korene sa nájdu, to znamená hodnoty priradené k X. Tieto hodnoty X rovnosť musí byť pravdivá, to znamená nahradením hodnoty X vo výraze musí byť výsledok rovný 0.
→ Príklad
Ak vezmeme do úvahy rovnicu x2 - 1 = 0 máme, že x ’= 1 a x’ ’= - 1 sú riešenia rovnice, pretože dosadením týchto hodnôt do výrazu máme skutočnú rovnosť. Pozri:
X2 – 1 = 0
(1)2 - 1 = 0 a (–1)2 – 1 = 0
Ak chcete nájsť riešenie a rovnica, je potrebné analyzovať, či je rovnica úplná a neúplná, a zvoliť, ktorá metóda sa použije.
Metóda riešenia rovníc typu sekera²+ c = 0
Metóda na určenie riešenia neúplných rovníc, ktoré majú B=0spočíva v izolácii neznámeho X, teda:
→ Príklad
Nájdite korene rovnice 3x2 – 27 = 0.
Ak sa chcete dozvedieť viac o tejto metóde, prejdite na: neúplná rovnica 2. stupňa s nulovým koeficientom b.
Metóda riešenia rovníc typu sekera2 + bx = 0
Metóda určenia možných riešení rovnice s ç = 0, spočíva v použití dôkazový faktoring. Pozri:
sekera2 + bx = 0
x · (os + b) = 0
Pri pohľade na poslednú rovnosť je zrejmé, že existuje násobenie a že aby bol výsledok 0, je potrebné, aby sa aspoň jeden z faktorov rovnal 0.
x · (os + b) = 0
x = 0 alebo sekera + b = 0
Riešenie rovnice teda dáva:
→ Príklad
Určte riešenie rovnice 5x2 - 45x = 0
Ak sa chcete dozvedieť viac o tejto metóde, prejdite na: neúplná rovnica 2. stupňa s nulovým koeficientom c.
Metóda riešenia úplných rovníc
Metóda známa ako Bhaskarova metóda alebo vzorec bhaskara poukazuje na to, že korene rovnice 2. stupňa typu ax2 + bx + c = 0 je dané týmto vzťahom:
→ Príklad
Určte riešenie rovnice X2 - x - 12 = 0.
Všimnite si, že koeficienty v rovnici sú: a = 1; B= - 1 a ç = – 12. Dosadením týchto hodnôt do Bhaskarovho vzorca máme:
Delta (Δ) je pomenovaná po diskriminačné a všimnite si, že je vo vnútri a odmocnina a ako vieme, berúc do úvahy reálne čísla, nie je možné získať druhú odmocninu zo záporného čísla.
Ak poznáme hodnotu diskriminátora, môžeme urobiť niekoľko vyhlásení o riešení rovnice 2. stupňa:
→ pozitívny diskriminátor (Δ> 0): dve riešenia rovnice;
→ diskriminant rovný nule (Δ = 0): riešenia rovnice sa opakujú;
→ negatívny diskriminátor (Δ <0): nepripúšťa skutočné riešenie.
Systémy rovníc druhého stupňa
Keď uvažujeme súčasne dve alebo viac rovníc, máme a sústava rovníc. Riešením systému s 2 premennými je sada objednaných párov ktorá súčasne spĺňa všetky príslušné rovnice.
→ Príklad
Zvážte systém:
S hodnotami: x ‘= 2, x’ ’= - 2 a y’ = 2, y ’’ = - 2 môžeme zostaviť usporiadané páry, ktoré vyhovujú systémovým rovniciam súčasne. Pozri: (2, 2), (2, - 2), (- 2, 2), (- 2, - 2).
Pripomeňme, že objednaný pár je napísaný vo forme (x, y).
Metódy hľadania riešenia sústavy rovníc sú podobné ako v prípade lineárne systémy.
→ Príklad
Zvážte systém:
Z rovnice x - y = 0 izolovajme neznáme X, teda:
x - y = 0
x = r
Teraz musíme nahradiť izolovanú hodnotu do inej rovnice, napríklad takto:
X2 - x –12 = 0
r2 - y –12 = 0
Pomocou Bhaskarovej metódy musíme:
Pretože x = y, budeme mať x ‘= y’ a x ’’ = y ’’. Teda:
x ‘= 4
x ‘‘ = -3
Usporiadané páry sú teda riešeniami systému (4, 4) a (- 3, - 3).
čítaj viac: Sústava rovníc 1. a 2. stupňa
Cvičenia vyriešené
Otázka 1 - (ESPM -SP) Riešením nižšie uvedenej rovnice sú dve čísla
a) bratranci a sesternice.
b) pozitívne.
c) negatívne.
d) páry.
e) nepárne.
Riešenie
Vieme, že menovatele zlomku sa nemôžu rovnať nule, teda x ≠ 1 a x ≠ 3. A keďže máme rovnosť zlomkov, môžeme sa navzájom vynásobiť a získať:
(x + 3) · (x + 3) = (x - 1) · (3x +1)
X2 + 6x +9 = 3x2 - 2x - 1
X2 - 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) - 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 - 8x - 10 = 0
Keď obe strany rovnice vydelíme 2, máme:
X2 - 4x - 5 = 0
Z Bhaskarovho vzorca vyplýva, že:
Všimnite si, že korene rovnice sú nepárne čísla.
Alternatíva e.
otázka 2 - (UFPI) Chovateľ hydiny zistil, že po umiestnení (n +2) vtákov do každej z n dostupných škôlok zostane iba jeden vták. Celkový počet vtákov pre každú prirodzenú hodnotu n je vždy
a) párne číslo.
b) nepárne číslo.
c) dokonalý štvorec.
d) číslo deliteľné 3.
e) prvočíslo.
Riešenie
Počet vtákov možno zistiť vynásobením počtu voliér počtom vtákov umiestnených v každej z nich. z nich, vyjadrením cvičenia po vykonaní tohto procesu ešte zostane jeden vták, môžeme to všetko napísať ďalej spôsobom:
n · (n + 2) +1
Vykonaním distribúcie získame:
č2 + 2n +1
A z tohto polynómu vyplýva, že:
(n + 1)2
Celkový počet vtákov je teda vždy dokonalým štvorcom pre akékoľvek prirodzené číslo n.
Alternatíva C
Robson Luiz
Učiteľ matematiky
Zdroj: Brazílska škola - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm
