Jeden aritmetická postupnosť (PA) je a postupnosť numerické, v ktorom je každý člen súčtom predchádzajúceho a konštanty nazývanej pomer. Existujú matematické výrazy určiť termín PA a vypočítať jeho súčet č prvé termíny.
Vzorec použitý na výpočet súčet termínov konečnej PA alebo súčtu č prvé podmienky PA sú nasledovné:
sč = o1 +č)
2
* n je počet výrazov BP; The1 je prvý termín ač je posledný.
Pôvod súčtu podmienok PO
Hovorí sa, že nemecký matematik Carl Friederich Gauss vo veku približne 10 rokov bol v škole trestaný svojou triedou. Učiteľ povedal študentom, aby spočítali všetky čísla, ktoré sa nachádzajú v postupnosť od 1 do 100.
Gauss nielen vo veľmi krátkom časovom úseku dobehol ako prvý, ale ako jediný dosiahol správny výsledok (5050). Ďalej nepreukázala žiadne výpočty. Urobil opravu tohto majetku:
Súčet dvoch členov v rovnakej vzdialenosti od extrémov konečnej PA sa rovná súčtu extrémov.
Neboli známe žiadne informácie o PAN v tom čase, ale Gauss si prezeral zoznam čísel a uvedomil si, že pridanie prvého k poslednému by malo za následok 101; pridaním druhého k predposlednému by bol výsledok tiež 101 a tak ďalej. Ako súčet všetkých dvojíc výrazov
ekvidištančný z extrémov dosiahol 101, Gauss musel iba vynásobiť toto číslo polovicou dostupných výrazov, aby našiel výsledok 5050.Upozorňujeme, že od čísla 1 do čísla 100 je presne 100 čísel. Gauss si uvedomil, že ak by ich pridal dva za dva, získal by 50 výsledkov, čo je 101. Preto sa toto znásobenie uskutočnilo polovicou celkových podmienok.
Ukážka súčtu podmienok PA
Tento počin dal vzniknúť výrazu použitému na výpočet súčet č prvé termíny PA. Na dosiahnutie tohto výrazu bola použitá nasledujúca taktika:
daný PAN akékoľvek, pridáme prvých n jej podmienok. Matematicky budeme mať:
sč =1 +2 +3 +... +n - 2 +n - 1 +č
Tesne pod týmto súčet podmienok, napíšeme ďalší, s rovnakými výrazmi ako ten predchádzajúci, ale v zmenšujúcom sa zmysle. Upozorňujeme, že súčet výrazov v prvom sa rovná súčtu výrazov v druhom. Preto boli obidve zrovnané so Sč.
Teraz neprestávajte... Po reklame je toho viac;)
sč =1 +2 +3 +... +n - 2 +n - 1 +č
sč =č +n - 1 +n - 2 +... +3 +2 +1
Upozorňujeme, že tieto dva výrazy boli získané z jedného výrazu PAN a že ekvidištančné členy sú zarovnané zvisle. Preto môžeme pridať výrazy, aby sme získali:
sč =1 +2 +3 +... +n - 2 +n - 1 +č
+ sč =č +n - 1 +n - 2 +... +3 +2 +1
2Sč = (1 +č) + (a2 +n - 1) +... + (an - 1 +2) + (ač +1)
Pamätajte, že súčet členov v rovnakej vzdialenosti od extrémov sa rovná súčtu extrémov. Preto možno každú zátvorku nahradiť súčtom extrémov, ako to urobíme ďalej:
2Sč = (1 +č) + (a1 +č) +... + (1 +č) + (a1 +č)
Gaussovou myšlienkou bolo pridať ekvidištančné členy sekvencie. Získal teda polovičné množstvo termínov PAN vo výsledkoch 101. Urobili sme to tak, že každý člen počiatočného BP bol pridaný k jeho ekvidištančnej hodnote, pričom bol zachovaný jeho počet pojmov. Pretože PA mala n výrazov, môžeme zmeniť sumu vo výraze vyššie vynásobením a vyriešiť rovnica nájsť:
2Sč = (1 +č) + (a1 +č) +... + (1 +č) + (a1 +č)
2Sč = n (a1 +č)
sč = o1 +č)
2
Toto je presne vzorec použitý na pridanie č prvé termíny PA.
Príklad
Vzhľadom na P.A (1, 2, 3, 4) určite súčet jeho prvých 100 výrazov.
Riešenie:
Budeme musieť nájsť výraz a100. Na tento účel použijeme všeobecný výraz vzorec PA:
Theč =1 + (n - 1) r
The100 = 1 + (100 – 1)1
The100 = 1 + 99
The100 = 100
Teraz vzorec pre súčet prvých n výrazov:
sč = o1 +č)
2
s100 = 100(1 + 100)
2
s100 = 100(101)
2
s100 = 10100
2
s100 = 5050
Autor: Luiz Paulo Moreira
Vyštudoval matematiku
Prajete si odkaz na tento text v školskej alebo akademickej práci? Pozri:
SILVA, Luiz Paulo Moreira. „Súčet podmienok aritmetického postupu“; Brazílska škola. Dostupné v: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-progressao-aritmetica.htm. Prístup k 28. júnu 2021.
