Sinus, cosinus i tangens są imiona nadane stosunki trygonometryczne. Większość problemów związanych z obliczeniami odległości jest rozwiązywana za pomocą trygonometria. W tym celu bardzo ważne jest zrozumienie jego podstaw, zaczynając od trójkąt prostokątny.
Bardzo ważne są również współczynniki trygonometryczne, ponieważ wiążą pomiary po obu stronach trójkąt z jednym z kątów ostrych, wiążąc tę relację z a prawdziwy numer.
Zobacz więcej: Identyfikacja ćwiartek cyklu trygonometrycznego
Cechy prawego trójkąta
Prawy trójkąt jest utworzony przez a kąt 90° (kąt prosty). Pozostałe kąty są mniejsze niż 90º, to znaczy są ostre, a ponadto wiemy, że największe boki są zawsze przeciwległe do największych kątów. W prawym trójkącie największy bok nazywa się przeciwprostokątna i jest „przed” kątem prostym, pozostałe boki są nazywane pekari.
W powyższym trójkącie mamy, że boki mierzące c i b to nogi, a bok mierzący a to przeciwprostokątna. W każdym prawym trójkącie związek znany jako twierdzenie Pitagorasa jest ważna.
2 = b2 + c2
Od teraz pekari z kołnierzem będą również nosić specjalne imiona. Nomenklatury nóg będą zależeć od kąta odniesienia. Biorąc pod uwagę kąt w kolorze niebieskim na powyższym obrazku, mamy, że strona mierząca b to is przeciwległa noga, a strona znajdująca się obok kąta, czyli mierząca c, to sąsiednia noga.
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Sinus
Zanim zdefiniujemy wzór na sinus kąta, zrozummy ideę sinusa. Wyobraź sobie rampę, na której możemy określić powód między wysokością a kursem, prawda? Ten stosunek będzie nazywany sinusem kąta α.
A zatem,
grzech α = wysokość
trasa
cosinus
Analogicznie do idei sinusa mamy poczucie cosinusa, jednak w rampie cosinus to stosunek odległości od ziemi do drogi wzdłuż rampy.
A zatem:
cos α = usuwanie
trasa
Tangens
Podobnie jak w przypadku sinusa i cosinusa, tangens jest stosunkiem między wysokością a odległością rampy.
A zatem:
tg α = wysokość
usuwanie
Styczna daje nam prędkość wznoszenia.
Przeczytaj też: Trygonometria w dowolnym trójkącie
Związek między sinusem, cosinusem i tangensem
Ogólnie rzecz biorąc, możemy następnie zdefiniować sinus, cosinus i tangens w dowolnym trójkącie prostokątnym, korzystając z poprzednich pomysłów. Zobacz poniżej:
Najpierw biorąc kąt α jako referencję mamy:
grzech α = Przeciwna strona = do
przeciwprostokątna do
cos α = sąsiednia kateta = b
przeciwprostokątna do
tg α = Przeciwna strona = do
Sąsiednia katet b
Teraz biorąc kąt β jako odniesienie, mamy:
grzech β = Przeciwna strona = b
przeciwprostokątna do
cos β = sąsiednia kateta = do
przeciwprostokątna do
tg β = Przeciwna strona = b
sąsiadujący cewnik c
Tabele trygonometryczne
Są trzy wartości kątów, które musimy znać. Czy oni są:
Pozostałe wartości podane są w zestawieniach ćwiczeń lub można je sprawdzić w poniższej tabeli, ale nie martw się, nie ma potrzeby ich zapamiętywania (poza tymi z poprzedniej tabeli).
Kąt (°) |
sinus |
cosinus |
tangens |
Kąt (°) |
sinus |
cosinus |
tangens |
1 |
0,017452 |
0,999848 |
0,017455 |
46 |
0,71934 |
0,694658 |
1,03553 |
2 |
0,034899 |
0,999391 |
0,034921 |
47 |
0,731354 |
0,681998 |
1,072369 |
3 |
0,052336 |
0,99863 |
0,052408 |
48 |
0,743145 |
0,669131 |
1,110613 |
4 |
0,069756 |
0,997564 |
0,069927 |
49 |
0,75471 |
0,656059 |
1,150368 |
5 |
0,087156 |
0,996195 |
0,087489 |
50 |
0,766044 |
0,642788 |
1,191754 |
6 |
0,104528 |
0,994522 |
0,105104 |
51 |
0,777146 |
0,62932 |
1,234897 |
7 |
0,121869 |
0,992546 |
0,122785 |
52 |
0,788011 |
0,615661 |
1,279942 |
8 |
0,139173 |
0,990268 |
0,140541 |
53 |
0,798636 |
0,601815 |
1,327045 |
9 |
0,156434 |
0,987688 |
0,158384 |
54 |
0,809017 |
0,587785 |
1,376382 |
10 |
0,173648 |
0,984808 |
0,176327 |
55 |
0,819152 |
0,573576 |
1,428148 |
11 |
0,190809 |
0,981627 |
0,19438 |
56 |
0,829038 |
0,559193 |
1,482561 |
12 |
0,207912 |
0,978148 |
0,212557 |
57 |
0,838671 |
0,544639 |
1,539865 |
13 |
0,224951 |
0,97437 |
0,230868 |
58 |
0,848048 |
0,529919 |
1,600335 |
14 |
0,241922 |
0,970296 |
0,249328 |
59 |
0,857167 |
0,515038 |
1,664279 |
15 |
0,258819 |
0,965926 |
0,267949 |
60 |
0,866025 |
0,5 |
1,732051 |
16 |
0,275637 |
0,961262 |
0,286745 |
61 |
0,87462 |
0,48481 |
1,804048 |
17 |
0,292372 |
0,956305 |
0,305731 |
62 |
0,882948 |
0,469472 |
1,880726 |
18 |
0,309017 |
0,951057 |
0,32492 |
63 |
0,891007 |
0,45399 |
1,962611 |
19 |
0,325568 |
0,945519 |
0,344328 |
64 |
0,898794 |
0,438371 |
2,050304 |
20 |
0,34202 |
0,939693 |
0,36397 |
65 |
0,906308 |
0,422618 |
2,144507 |
21 |
0,358368 |
0,93358 |
0,383864 |
66 |
0,913545 |
0,406737 |
2,246037 |
22 |
0,374607 |
0,927184 |
0,404026 |
67 |
0,920505 |
0,390731 |
2,355852 |
23 |
0,390731 |
0,920505 |
0,424475 |
68 |
0,927184 |
0,374607 |
2,475087 |
24 |
0,406737 |
0,913545 |
0,445229 |
69 |
0,93358 |
0,358368 |
2,605089 |
25 |
0,422618 |
0,906308 |
0,466308 |
70 |
0,939693 |
0,34202 |
2,747477 |
26 |
0,438371 |
0,898794 |
0,487733 |
71 |
0,945519 |
0,325568 |
2,904211 |
27 |
0,45399 |
0,891007 |
0,509525 |
72 |
0,951057 |
0,309017 |
3,077684 |
28 |
0,469472 |
0,882948 |
0,531709 |
73 |
0,956305 |
0,292372 |
3,270853 |
29 |
0,48481 |
0,87462 |
0,554309 |
74 |
0,961262 |
0,275637 |
3,487414 |
30 |
0,5 |
0,866025 |
0,57735 |
75 |
0,965926 |
0,258819 |
3,732051 |
31 |
0,515038 |
0,857167 |
0,600861 |
76 |
0,970296 |
0,241922 |
4,010781 |
32 |
0,529919 |
0,848048 |
0,624869 |
77 |
0,97437 |
0,224951 |
4,331476 |
33 |
0,544639 |
0,838671 |
0,649408 |
78 |
0,978148 |
0,207912 |
4,70463 |
34 |
0,559193 |
0,829038 |
0,674509 |
79 |
0,981627 |
0,190809 |
5,144554 |
35 |
0,573576 |
0,819152 |
0,700208 |
80 |
0,984808 |
0,173648 |
5,671282 |
36 |
0,587785 |
0,809017 |
0,726543 |
81 |
0,987688 |
0,156434 |
6,313752 |
37 |
0,601815 |
0,798636 |
0,753554 |
82 |
0,990268 |
0,139173 |
7,11537 |
38 |
0,615661 |
0,788011 |
0,781286 |
83 |
0,992546 |
0,121869 |
8,144346 |
39 |
0,62932 |
0,777146 |
0,809784 |
84 |
0,994522 |
0,104528 |
9,514364 |
40 |
0,642788 |
0,766044 |
0,8391 |
85 |
0,996195 |
0,087156 |
11,43005 |
41 |
0,656059 |
0,75471 |
0,869287 |
86 |
0,997564 |
0,069756 |
14,30067 |
42 |
0,669131 |
0,743145 |
0,900404 |
87 |
0,99863 |
0,052336 |
19,08114 |
43 |
0,681998 |
0,731354 |
0,932515 |
88 |
0,999391 |
0,034899 |
28,63625 |
44 |
0,694658 |
0,71934 |
0,965689 |
89 |
0,999848 |
0,017452 |
57,28996 |
45 |
0,707107 |
0,707107 |
1 |
90 |
1 |
Wiedz również: Secant, cosecans i cotangens
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - Określ wartość x i y w następującym trójkącie.
Rozwiązanie:
Zobacz w trójkącie, że podany kąt wynosił 30°. Wciąż patrząc na trójkąt, mamy stronę, która mierzy x to jest przeciwna noga pod kątem 30° i stroną mierzącą tak to jest sąsiednia noga pod kątem 30°. Musimy więc szukać stosunku trygonometrycznego, który wiąże to, czego szukamy, z tym, co jest dane (hipoprostokątna). Wkrótce:
grzech 30° = Przeciwna strona
Przeciwprostokątna
cos 30° = sąsiednia kateta
Przeciwprostokątna
Określono wartość x:
grzech 30° = Przeciwna strona
Przeciwprostokątna
grzech 30° = x
2
Patrząc na stół, musimy:
grzech 30° = 1
2
Zastępując go w równaniu, otrzymamy:
1 = x
2 2
x = 1
Podobnie rozważymy
A zatem:
Cos 30° = √3
2
cos 30° = sąsiednia kateta
Przeciwprostokątna
cos 30° = Tak
2
√3 = Tak
2 2
y = √3
pytanie 2 – (PUC-SP) Jaka jest wartość x na poniższym rysunku?
Rozwiązanie:
Patrząc na większy trójkąt, zauważ, że y jest przeciwne do kąta 30° i że 40 jest przeciwprostokątną, czyli możemy użyć trygonometrycznego stosunku sinusa.
grzech 30° = Tak
40
1 = Tak
2 40
2 lata = 40
y = 20
Teraz patrząc na mniejszy trójkąt, zobacz, że mamy wartość przeciwnej strony i szukamy wartości x, która jest stroną sąsiednią. Relacja trygonometryczna obejmująca te dwie nogi to styczna. A zatem:
tg 60° = 20
x
√3= 20
x
√3 x = 20
x = 20 · √3
√3 √3
x = 20√3
3
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
Czy chciałbyś odnieść się do tego tekstu w pracy szkolnej lub naukowej? Popatrz:
LUIZ, Robson. „Sinus, cosinus i tangens”; Brazylia Szkoła. Dostępne w: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm. Dostęp 27 czerwca 2021 r.
