Suma kątów wewnętrznych i zewnętrznych wielokąta wypukłego

ty wielokąty wypukłe to te, które nie mają wklęsłości. Aby zobaczyć, czy wielokąt jest wypukły, czy nie, musimy zaobserwować, czy jakikolwiek odcinek linii prostej z końcami na figurze nie przechodzi przez obszar zewnętrzny.

W wielokątach wypukłych istnieją wzory, które pozwalają określić sumę kątów wewnętrznych i zewnętrznych. Sprawdzić!

Suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego

Formuła suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego z n stronami to:

$\dpi{120} \mathbf{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ}}$

Demonstracja:

Jeśli spojrzymy, zobaczymy, że każdy wielokąt wypukły można podzielić na określoną liczbę trójkątów. Zobacz kilka przykładów:

Tak więc pamiętając, że suma kątów wewnętrznych trójkąta jest zawsze równy 180°, widzimy, że suma kątów wewnętrznych na powyższych figurach będzie podana przez liczbę trójkątów, które można podzielić na 180°:

czworobok: 2 trójkąty ⇒ $\dpi{120} \mathrm{S_i = 2\cdot 180^{\circ} = 360^{\circ}}$
Pięciokąt: 3 trójkąty ⇒ $\dpi{120} \mathrm{S_i = 3\cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}}$
Sześciokąt: 4 trójkąty ⇒ $\dpi{120} \mathrm{S_i = 4\cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}}$

Aby więc otrzymać wzór na obliczenie sumy kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego, musimy tylko wiedzieć, ogólnie mówiąc, na ile trójkątów można podzielić wielokąt wypukły.

instagram story viewer

Jeśli zaobserwujemy, istnieje zależność między tą ilością a liczbą boków figur. Liczba trójkątów jest równa liczbie boków figury minus 2, czyli:

$\dpi{120} \mathrm{Całkowite \, z \, tri\hat{a}kąty =n - 2}$

Czworokąt: 4 strony ⇒ n – 2 = 4 – 2 = 2
Pięciokąt: 5 boków ⇒ n – 2 = 5 – 2 = 3
Sześciokąt: 6 boków ⇒ n – 2 = 6 – 2 = 4

Ogólnie więc suma kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego jest dana wzorem: $\dpi{120} \mathrm{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} }$

Jaką formułę chcieliśmy zademonstrować.

Przykład:

Znajdź sumę kątów wewnętrznych wypukłego dwudziestokąta.

Ikosagon to wielokąt 20-boczny, czyli n = 20. Zastąpmy tę wartość we wzorze:

$\dpi{120} \mathrm{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} }$

$\dpi{120} \mathrm{S_i = (20-2)\cdot 180^{\circ} }$

$\dpi{120} \mathrm{S_i = 18\cdot 180^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{S_i = 3240^{\circ} }$

Dlatego suma kątów wewnętrznych wypukłego dwudziestokąta jest równa 3240°.

Suma zewnętrznych kątów wielokąta

TEN suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego jest zawsze równy 360°, czyli:

$\dpi{120} \mathbf{S_e = 360^{\circ}}$

Demonstracja:

Sprawdź darmowe kursy

Bezpłatny kurs edukacji włączającej online
Bezpłatna biblioteka zabawek online i kurs edukacyjny
Darmowy kurs gier matematycznych online w edukacji wczesnoszkolnej
Bezpłatny internetowy kurs pedagogicznych warsztatów kulturalnych

Pokażemy na przykładach, że suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego nie zależy od liczby boków figury i jest zawsze równa 360°.

Czworoboczny:

czworobok Zauważ, że każdy kąt wewnętrzny tworzy kąt 180° z kątem zewnętrznym. Tak więc, ponieważ są cztery wierzchołki, suma wszystkich kątów jest równa 4. 180° = 720°.

To znaczy: $\dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 720^{\circ}}$

Wkrótce:

$\dpi{120} \mathrm{ S_e = 720^{\circ} - S_i}$

Pewnego razu $\dpi{120} \mathrm{S_i = 360^{\circ}}$ , następnie:

$\dpi{120} \mathrm{ S_e = 720^{\circ} - 360^{\circ} = 360^{\circ} }$

Pięciokąt:

W pięciokącie mamy 5 wierzchołków, więc suma wszystkich kątów jest równa 5. 180° = 900°. Wkrótce: $\dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 900^{\circ}}$ . Następnie: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 900^{\circ} - S_i}$ . Pewnego razu $\dpi{120} \mathrm{S_i = 540^{\circ}}$ , następnie: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 900^{\circ} - 540^{\circ} = 360^{\circ} }$ .

Sześciokąt:

W sześciokącie mamy 6 wierzchołków, więc suma wszystkich kątów jest równa 6. 180° = 1080°. Wkrótce: $\dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 1080^{\circ}}$ . Następnie: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 1080^{\circ} - S_i}$ . Pewnego razu $\dpi{120} \mathrm{S_i = 710^{\circ}}$ , następnie: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 1080^{\circ} - 720^{\circ} = 360^{\circ} }$ .