ty liczby niewymierne przez długi czas wywoływał wielki niepokój u matematyków. Dziś, już dobrze zdefiniowaną, znamy jako liczbę niewymierną tę, której reprezentacja dziesiętna jest zawsze nieokresową dziesiętną. Główną cechą liczb nieracjonalnych i tym, co odróżnia je od liczb wymiernych, jest to, że: nie może być reprezentowana przez a frakcja.
Badanie liczb niewymiernych zostało pogłębione, gdy przy obliczaniu problemów związanych z twierdzeniem Pitagorasa znaleziono pierwiastki niedokładne. Akt szukania rozwiązania tych niedokładnych korzeni sprawił, że istnienie niedokładnych dziesięcin stało się niezwykłe. okresowe, to znaczy liczb, których część dziesiętna jest nieskończona i nie ma dobrego ciągu. zdefiniowane. Główne liczby niewymierne to nieokresowe ułamki dziesiętne, niedokładne pierwiastki i π.
Przeczytaj też: Pierwiastek kwadratowy - przypadek zakorzenienia, w którym indeks radykalny wynosi 2
Zbiór liczb niewymiernych
Przed badaniem liczb niewymiernych badano zbiory liczb
naturalny, liczby całkowite i wymierne. Zagłębiając się głębiej w badanie trójkąta prostokątnego, stało się jasne, że jest kilka korzeni, które nie mają dokładnego rozwiązania, w szczególności można było zobaczyć, że niedokładne rozwiązania pierwiastkowe są liczbami znane jako nieokresowe dziesięciny.Wśród tego niepokoju wielu matematyków bezskutecznie próbowało zademonstrować, że niedokładne pierwiastki są liczbami wymiernymi i które można przedstawić jako ułamek, ale zdano sobie sprawę, że te liczby nie mogą być w tym przedstawione Formularz. Ponieważ do tej pory zbiór liczb wymiernych nie zawierał tych liczb, zaistniała potrzeba stworzenia nowego zbioru, zwanego zbiorem liczb niewymiernych.
Liczba jest irracjonalna, gdy jej reprezentacja dziesiętna jest nieokresową. |
Czym są liczby niewymierne?
Aby być liczbą niewymierną, musi spełniać definicję, czyli jego reprezentacja dziesiętna to nieokresowy dziesiętny. Główną cechą nieokresowych ułamków dziesiętnych jest to, że nie można ich przedstawić za pomocą ułamka, co pokazuje, że liczby niewymierne są przeciwieństwem liczb wymiernych.
Główne liczby z tą funkcją to korzenie nie są dokładne.
Przykłady:
a) √2
b) √5
c) √7
d) √13
Szukając rozwiązań pierwiastkowych niedokładnych, czyli wykonujących dziesiętną reprezentację tych liczb, zawsze znajdziemy nieokresowy dziesiętny, co czyni te liczby elementami zbioru irracjonalny.
Oprócz pierwiastków niedokładnych, istnieją same nieokresowe pierwiastki dziesiętne, na przykład, jeśli obliczymy pierwiastki nieścisłe, znajdziemy nieokresowy dziesiętny.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Liczby niewymierne są zwykle przedstawiane za pomocą liter greckich, ponieważ nie można zapisać wszystkich jego miejsc po przecinku.
Pierwszym z nich jest π (czyt. pi), obecny przy obliczaniu pola i obwodu okręgów. Ma wartość równą 3,1415926535…
Oprócz π inną bardzo powszechną liczbą jest ϕ (czytaj: fi). Znajduje się w problemach związanych z proporcja złoty. Ma wartość równą 1.618033...
Zobacz też: Co to są liczby pierwsze?
liczba wymierna i niewymierna
Analizując zestawy liczb, ważne jest, aby odróżnić liczby wymierne od niewymiernych. Połączenie tych dwóch zbiorów tworzy jeden z najczęściej badanych zbiorów w matematyce, zbiór liczb rzeczywistych, czyli zbiór liczby rzeczywiste jest to łączenie liczb, które mogą być reprezentowane jako ułamki (racjonalne) z liczbami, które nie mogą być reprezentowane jako ułamki (irracjonalne).
W zestawie liczby wymierne, są liczby całkowite, naturalne, dokładne ułamki dziesiętne i okresowe ułamki dziesiętne.
Przykłady liczb wymiernych:
-60 → liczba całkowita
2,5 → dokładny dziesiętny
5.1111111… → okres dziesiętny
Liczby niewymierne są nieokresowymi ułamkami dziesiętnymi, więc nie ma liczby, która byłaby jednocześnie wymierna i niewymierna.
Przykład liczb niewymiernych:
1123149… → nieokresowa dziesięcina
2.769235… → nieokresowa dziesięcina
Operacje na liczbach niewymiernych
Dodawanie i odejmowanie
TEN dodanie i odejmowanie z dwóch liczb niewymiernych to zwykle właśnie reprezentowane, chyba że stosuje się przybliżenie dziesiętne tych liczb, na przykład:
a) √6 + √5
b) √6 – √5
c) 1,414213… + 3,1415926535…
Nie możemy dodawać ani odejmować wartości ze względu na rodniki, więc pozostawiamy operację właśnie wskazaną.
W reprezentacjach dziesiętnych nie jest również możliwe wykonanie dokładnej sumy, więc aby dodać dwie liczby niewymierne, potrzebujemy przybliżenia racjonalnego., a to przedstawienie jest wybierane zgodnie z potrzebą dokładności tych danych. Im więcej bierzemy pod uwagę miejsc po przecinku, tym bliżej dokładnej sumy otrzymujemy.
Obserwacja:zbiór liczb niewymiernych nie jest zamknięty na dodawanie lub odejmowanie, co oznacza, że suma dwóch liczb niewymiernych może dać liczbę, która nie jest wymierna. Na przykład, jeśli obliczymy różnicę liczby niewymiernej przez jej przeciwieństwo, musimy:
a) √2 – √2 = 0
b) π + (-π) = 0
Wiemy, że 0 nie jest liczbą niewymierną.
Mnożenie i dzielenie
Mnożenie i podział liczb niewymiernych można zrobić, jeśli reprezentacja jest napromieniowanie, jednak podobnie jak dodawanie, w reprezentacji dziesiętnej, czyli mnożąc lub dzieląc dwa miejsca po przecinku, wymagane jest racjonalne przybliżenie tej liczby.
a) √7 · √5 = √35
b) √32: √2 = √16 = 4
Zauważ też, że w przykładzie b, 4 jest liczbą wymierną, co oznacza, że mnożenie i dzielenie dwóch liczb niewymiernych nie są domknięte, to znaczy mogą mieć wynik wymierny.
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - Przejrzyj następujące liczby:
I) 3.1415926535
II) 4,1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123...
V) √36
VI) √12
Są to liczby niewymierne:
A) Tylko I, IV i V
B) Tylko II, III i VI
C) Tylko II, IV i VI
D) Tylko I, II, III i VI
E) Tylko III, IV, V i VI
Rozkład
Alternatywa B
I → liczba jest dokładnie dziesiętna, wymierna.
II → liczba jest nieokresowym, niewymiernym dziesiętnym.
III → π jest niewymierne, a jego podwójna, czyli 2π, również jest niewymierna.
IV → liczba jest okresowym, racjonalnym dziesiętnym.
V → rdzeń dokładny, racjonalny.
VI → korzeń niedokładny, irracjonalny.
Pytanie 2 - Proszę ocenić następujące stwierdzenia:
I – Zbiór liczb rzeczywistych jest połączeniem racjonalnego i irracjonalnego;
II – Suma dwóch liczb niewymiernych może być liczbą wymierną;
III – Dziesięciny to liczby niewymierne.
Analizując wypowiedzi możemy powiedzieć, że:
A) Tylko stwierdzenie I jest prawdziwe.
B) Tylko stwierdzenie II jest prawdziwe.
C) Tylko stwierdzenie III jest prawdziwe.
D) Tylko stwierdzenia I i II są prawdziwe.
E) Wszystkie stwierdzenia są prawdziwe.
Rozkład
Alternatywa D
I → Prawda, ponieważ definicja zbioru liczb rzeczywistych to związek między racjonalnością a niewymiernością.
II → Prawda, gdy dodamy liczbę do jej przeciwieństwa, otrzymamy liczbę 0, która jest wymierna.
III → Fałszywe, nieokresowe dziesięciny są irracjonalne.
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm
