Funkcja odwrotna: co to jest, wykres, ćwiczenia

TEN funkcja odwrotna, jak sama nazwa wskazuje, to funkcja f(x)^-1, który wykonuje dokładnie odwrotność funkcji f(x). Aby funkcja obsługiwała odwrotność, musi być bijector, czyli wtryskiwacz i wypychacz jednocześnie. Prawo formacji funkcji odwrotnej działa odwrotnie niż funkcja f(x).

Na przykład, jeśli funkcja przyjmuje wartość z domena i dodaje 2, funkcja odwrotna zamiast dodawania odejmuje 2. znaleźć prawo tworzenia funkcji odwrotnej nie zawsze jest to łatwe zadanie, ponieważ konieczne jest odwrócenie niewiadomych x i y, a także wyizolowanie y w nowym równaniu.

Przeczytaj też:Funkcja - wszystko, co musisz wiedzieć, aby opanować temat

Kiedy funkcja obsługuje odwrotność?

Graficzna reprezentacja funkcji i jej funkcji odwrotnej.

Rola to odwracalny, czyli ma funkcję odwrotną, wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijector. Ważne jest, aby pamiętać, co funkcja bijector, który jest funkcją wtryskiwacz, to znaczy, że każdy element obrazu ma jednego korespondenta domeny. Oznacza to, że różne elementy w zbiorze A muszą być powiązane z różnymi elementami w zbiór B, to znaczy, że nie mogą istnieć dwa lub więcej elementów zbioru A, które mają to samo odpowiadające w zestaw B.

Rola to suriektyw jeśli obraz jest równy kontrdomenie, to znaczy, że nie ma elementu w zestawie B, z którym nie jest skojarzony element ze zbioru A.

Niech funkcja f: A → B, gdzie A jest dziedziną, a B jest przeciwdziedziną, odwrotną funkcją f będzie funkcja opisana przez f^-1 : B → A, czyli domena i przeciwdomena są odwrócone.

Przykład:

Funkcja f: A → B jest bijektywna, ponieważ jest iniektywna (w końcu różne elementy w A są skojarzone z różne elementy w B) i jest również surjektywna, ponieważ w zbiorze B nie ma żadnego elementu, to znaczy kontrdomena jest taka sama jak zestaw Wizerunek.

Dlatego ta funkcja jest odwracalna, a jej odwrotność to:

Jak wyznacza się prawo formacji funkcji odwrotnej?

Aby znaleźć prawo formacji funkcji odwrotnej, potrzebujemy odwrócić niewiadome, czyli zastąpienie x przez y i y przez x, a następnie wyizolowanie nieznanego y. W tym celu ważne jest, aby funkcja była odwracalna, czyli bijector.

→ Przykład 1

Znajdź prawo tworzenia funkcji odwrotnej f (x) = x + 5.

Rozkład:

Wiemy, że f(x) = y, więc y = x + 5. Wykonując odwrócenie x i y, znajdziemy: równanie:

x = y + 5

Teraz wyizolujmy y:

– 5 + x = y
y = x – 5

Oczywiście, jeśli f(x) dodaje 5 do wartości x, to jego odwrotność f(x) ^{- 1} zrobi odwrotnie, czyli x minus 5.

→ Przykład 2

Biorąc pod uwagę funkcję, której prawo formacji wynosi f(x) = 2x – 3, jakie będzie prawo formacji jej odwrotności?

→ Przykład 3

Oblicz prawo formacji odwrotności funkcji y = 2^x.

Rozkład:

y = 2^x
Zmiana x na y:
x = 2^tak

aplikowanie logarytm po obu stronach:

log₂x = log₂2^tak
log₂x = ylog₂2
log₂x = y · 1
log₂x = y
y = log₂x

Przeczytaj też: Różnice między funkcją a równaniem

Wykres funkcji odwrotnej

Wykres funkcji odwrotnej f ^-1 zawsze będzie symetryczna względem wykresu funkcji f względem prostej y = x, co pozwala analizować zachowanie tych funkcji, chociaż w niektórych przypadkach nie możemy opisać prawa tworzenia funkcji odwrotnej, ze względu na jego złożoność.

Przeczytaj też: Jak narysować funkcję?

Ćwiczenia rozwiązane

1) Jeśli f^-1 jest funkcją odwrotną f, która przechodzi od R do R, którego prawo tworzenia f (x) = 2x – 10, wartość liczbowa f ^-1(2) é:

do 1

b) 3

c) 6

d) -4

e) -6

Rozkład:

→ Pierwszy krok: znajdź odwrotność f.

→ Drugi krok: zastąpić 2 w miejscu x w f ^-1(x).

Alternatywa C.

2) Niech f: A → B będzie funkcją, której prawo tworzenia to f (x) = x² + 1, gdzie A {-2, -1, 0, 1, 2} i B = {1,2,5}, można powiedzieć, że:

a) funkcja jest odwracalna, ponieważ jest bijectorem.

b) funkcja nie jest odwracalna, ponieważ nie jest wstrzykiwaniem.

c) funkcja nie jest odwracalna, ponieważ nie jest surjektywna

d) funkcja nie jest odwracalna, ponieważ nie jest ani surjektywna, ani wstrzykująca.

e) funkcja nie jest odwracalna, ponieważ jest bijectorem.

Rozkład:

Aby funkcja była odwracalna, musi być bijektywna, czyli surjektywna i wstrzykująca. Najpierw przeanalizujmy, czy jest surjektywna.

Aby funkcja była surjektywna, wszystkie elementy B muszą mieć odpowiedniki w A. Aby to wiedzieć, obliczmy każdą z jego wartości liczbowych.

f (-2) = (-2)² +1 = 4+1=5

f (-1) = (-1)² +1 = 1+1=2

f (0) = 0² +1 = 0+1=1

f(1) = 1² +1 = 1+1=2

f(2) = 2² +1 = 4+1=5

Zauważ, że wszystkie elementy B {1,2,5} mają odpowiednik w A, co sprawia, że ​​funkcja suriektyw.

Aby ta funkcja była wstrzykiwana, elementy różne od A muszą mieć różne obrazy w B, co nie ma miejsca. Zauważ, że f(-2) = f (2) oraz że f(-1) = f (1), co sprawia, że ​​funkcja nie wstrzykuj. Ponieważ nie jest to wtryskiwacz, nie jest również odwracalny; w związku z tym, alternatywa b.

Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki

Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-inversa.htm