O trójkąt prostokątny dostaje tę nazwę, ponieważ jeden z jego kątów ma miarę 90º, czyli jest to kąt prosty. Będąc jednym z najczęściej badanych wielokątów w geometria płaszczyzny, można było zobaczyć pewne relacje między kątami, a także między bokami tej figury.
O Twierdzenie Pitagorasa, na przykład został opracowany po uświadomieniu sobie, że istnieje związek między wymiarami boków trójkąta. Tak więc znając wymiary dwóch boków trójkąta można obliczyć wartość trzeciego boku. Twierdzenie Pitagorasa mówi, że suma kwadratu nóg jest zawsze równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
Oprócz twierdzenia Pitagorasa innym ważnym obszarem rozwiniętym dzięki badaniom tego trójkąta było: trygonometria, w którym rozwijane są stosunki między bokami trójkąta, znane jako sinus, cosinus i tangens. Z tych powodów zauważono, że istnieje proporcja między wymiarami boków trójkątów prostokątnych o równych kątach.
Przeczytaj też: Jakie są niezwykłe punkty trójkąta?
Cechy prawego trójkąta
Prawy trójkąt to a wielokąt, który ma trzy bokii trzy kąty, a jeden z tych kątów jest prosty, to znaczy ma 90º. Pozostałe dwa kąty są ostre, to znaczy mniejsze niż 90º. Najdłuższy bok, który jest zawsze przeciwny do kąta 90°, jest znany jako przeciwprostokątna, a pozostałe dwa to pekari.
Trójkąt prostokątny zachowuje wszystkie znane właściwości wspólnego trójkąta, takie jak fakt, że suma kątów wewnętrznych być równy 180º. Ponieważ suma wynosi zawsze 180º, a jeden z jej kątów ma już 90º, możemy powiedzieć, że pozostałe dwa kąty są zawsze komplementarne, to znaczy ich suma jest również równa 90º.
a i b → piersi
c → przeciwprostokątna
Obwód trójkąta prawego
Obwód dowolnego wielokąta to długość sumy wszystkich jego boków. Tak więc, aby obliczyć obwód prawego trójkąta, po prostu dodaj jego boki.
P = a + b + c
obszar trójkąta prostokątnego
TEN obszar trójkąta prostokąt, a także trójkąt dowolna, to połowa produktu między podstawą a wysokością. Szczególną cechą trójkąta prawego jest to, że jedna z jego nóg pokrywa się z jego wysokością, ponieważ są one do siebie prostopadłe, więc aby obliczyć powierzchnię, mnożymy nogi i wynik dzielimy przez dwa.
Przykład:
Oblicz obwód i powierzchnię prawego trójkąta poniżej, wiedząc, że jego boki podane są w centymetrach.
P = 8 + 15 + 17
P = 40 cm
Teraz obliczmy powierzchnię:
Zobacz też: Obliczanie pola trójkąta za pomocą kątów
twierdzenie Pitagorasa
Najbardziej znanym twierdzeniem w matematyce jest bez wątpienia twierdzenie Pitagorasa. Z tego twierdzenia można było zobaczyć, że boki trójkąta prostokątnego są powiązane w następujący sposób: przy danym dowolnym trójkącie prostokątnym, suma kwadratu nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
a² + b² = c²
a i b → piersi
c → przeciwprostokątna
Z tego twierdzenia można znaleźć wartość po obu stronach trójkąta prostokątnego, o ile znane są dwa pozostałe.
Przykład:
Jaka jest wartość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego poniżej, wiedząc, że jej wymiary podane są w centymetrach?
Stosując twierdzenie Pitagorasa, musimy:
6² + 8² = x²
36 + 64 = x²
100 = x²
x² = 100
x=√100
x = 10 cm
Aby dowiedzieć się więcej o tej ważnej relacji, przeczytaj tekst: TTwierdzenie Pitagorasa.
Trygonometria w trójkącie prawym
Nazwa trygonometria odnosi się już do przedmiotu badań:
- tri → trzy;
- gono → kąt;
- metryki → metryka lub miara.
Tak więc trygonometria jest dziedziną matematyki, która bada zależność między pomiarami kątów trójkąta i tutaj będziemy trzymać się prawego trójkąta. Trygonometria bada stosunek boków trójkąta zgodnie z jego kąt. Dzięki temu udało się opracować ważne koncepcje, które są powodami sinus, cosinus i tangens. Warto wspomnieć, że wraz z pogłębieniem badań trygonometrii w kole trygonometrycznym rozwinęły się inne przyczyny trygonometryczne.
Zanim zrozumiemy, czym jest każdy z tych stosunków, ważne jest, aby zrozumieć, czym jest strona przeciwna, a co jest stroną sąsiednią pod kątem trójkąta.
Jak widzieliśmy, przeciwprostokątna jest bokiem reprezentowanym przez odcinek AB, ponieważ jest to zawsze najdłuższy bok trójkąta, a także strona skierowana pod kątem 90º. Pozostałe boki to nogi. W zależności od kąta, który przyjmujemy jako odniesienie, bok może być przeciwległy lub przylegający.
Pekari jest znany jako przeciwieństwo, gdy stoi pod kątem. Na przykład bok przeciwny ꞵ jest bokiem AC; z drugiej strony strona przeciwna lado to strona BC.
O pekari jest znany jako sąsiedni kiedy on tworzy kąt w pobliżu przeciwprostokątnej. Zauważ, że kąt ꞵ jest pomiędzy bokiem BC i AB. Ponieważ AB jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, to AB jest odnogą sąsiadującą z kątem ꞵ. Stosując to samo rozumowanie, można zauważyć, że lado AC jest sąsiednim bokiem kąta ɑ.
Rozumiejąc każdy bok trójkąta, można zrozumieć stosunki trygonometryczne.
Aby zastosować stosunki trygonometryczne, musimy znać niezwykłe kąty, czyli kąty 30º, 45º i 60º. Większość problemów egzaminacyjnych i egzaminacyjnych jest powiązana z tymi kątami, dlatego konieczne jest poznanie wartości przyczyn każdego z nich.
Zobacz tabelę z wartościami sinusa, cosinusa i tangensa dla godnych uwagi kątów:
Znając wartość stosunków trygonometrycznych trójkąta za pomocą boku i kąta, można z trygonometrii znaleźć wszystkie boki trójkąta prostokątnego.
Przykład:
Znajdź wartość x.
Aby znaleźć wartość x, spójrzmy na podany kąt. Zauważ, że przylega do boku, z którego znamy miarę, to znaczy AC przylega do kąta 30°. Następnie zastosujemy stosunek stycznej, który odnosi się do sąsiedniego boku i przeciwprostokątnej. Patrząc na tabelę, wiemy również, że cosinus liczby 30 jest równy √3/2.
Również dostęp: 4 najczęstsze błędy w podstawowej trygonometrii
Ćwiczenia rozwiązane
Pytanie 1 - (IFG) Teodolit to precyzyjny przyrząd do pomiaru kątów poziomych i pionowych, stosowany w pracach budowlanych. Wynajęto firmę do malowania czteropiętrowego budynku. Aby określić całkowitą powierzchnię do pomalowania, musi określić wysokość budynku. Jedna osoba ustawia instrument na wysokości 1,65 metra, znajdując kąt 30°, jak pokazano na rysunku. Zakładając, że teodolit znajduje się w odległości 13 meters3 metrów od budynku, jaka jest wysokość w metrach budynku do pomalowania?
A) 11,65
B) 12,65
C) 13,65
D) 14,65
E) 15,65
Rozkład
Alternatywa D.
Ponieważ chcemy znaleźć stronę przeciwną do kąta 30°, wiedząc, że odległość 13√3, która jest odległością od teodolitu do budynku, jest stroną przylegającą do kąta 30°, użyjemy więc stycznej:
Teraz dodamy 13 + 1,65 = 14,65 metra wysokości.
Pytanie 2 - Rolnik, aby przeprowadzić sadzenie na swojej posesji, podzielił swoją ziemię uprawną w kształcie prostokąta na pół, po jego przekątnej, tworząc dwa trójkąty prostokątne. W tym dziale połowa terenu będzie ogrodzona drutem przy użyciu 4 drutów. Wiedząc, że teren ma 20 metrów szerokości i 21 metrów długości, ile wydamy na drut?
A) 29 metrów
B) 70 metrów
C) 140 metrów
D) 210 metrów
E) 280 metrów
Rozkład
Alternatywa E.
Najpierw znajdźmy przekątną terenu, która jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego. Dla ułatwienia zrobimy obraz sytuacji:
Musimy więc:
d² = 20² + 21²
d² = 400 + 441
d² = 841
d = √841
d=29
Do obejścia mamy do pokonania 29 + 20 + 21 = 70 metrów, tak jak będą 4 okrążenia, 70 · 4 = 280 metrów.
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-retangulo.htm