O Praktyczne urządzenie Briota-Ruffini to sposób na rozdzielenie wielomian stopnia n > 1 o dwumian pierwszego stopnia postaci x – a. Ta metoda jest prostym sposobem na dokonanie podziału między wielomianem a dwumianem, ponieważ wykonanie tej operacji przy użyciu definicji jest dość pracochłonne.
Przeczytaj też: Co to jest wielomian?
Podział wielomianów krok po kroku metodą Briota-Ruffini
Urządzenie to może być użyte do podziału między wielomianem P(x) o stopniu n większym niż 1 (n >1) a dwumianem typu (x – a). Prześledźmy krok po kroku następujący przykład:
Przykład
Korzystając z praktycznego urządzenia Briota-Ruffini, podziel wielomian P(x) = 3x3 + 2x2 + x +5 przez dwumian D(x) = x +1. |
Krok 1 – Narysuj dwa segmenty linii, jeden poziomo, a drugi pionowo.
Krok 2 – Umieść współczynniki wielomianu P(x) na poziomym odcinku linii i na prawo od pionowego odcinka i powtórz pierwszy współczynnik na dole. Po lewej stronie segmentu pionowego musimy umieścić korzeń dwumianu. Aby określić pierwiastek dwumianu, po prostu ustaw go na zero, w ten sposób:
x + 1 = 0
x = – 1
Krok 3 – Pomnóżmy pierwiastek dzielnika przez pierwszy współczynnik znajdujący się poniżej linii poziomej, a następnie dodajmy wynik przez kolejny współczynnik znajdujący się powyżej linii poziomej. Następnie powtórzmy proces aż do ostatniego współczynnika, w tym przypadku współczynnika 5. Popatrz:
Po wykonaniu tych trzech kroków przyjrzyjmy się, co daje nam algorytm. Na górze linii poziomej i na prawo od linii pionowej mamy współczynniki wielomianu P(x), takie jak:
P(x) = 3x3 + 2x2 + x +5
Liczba –1 jest pierwiastkiem dzielnika, a zatem dzielnikiem jest D(x) = x + 1. Wreszcie iloraz można znaleźć z liczbami znajdującymi się poniżej poziomej linii, przy czym ostatnią liczbą jest reszta Dywizji.
pamiętaj, że stopa dywidendy to 3 to jest stopień dzielnika to 1, więc stopień ilorazu jest podany przez 3 – 1 = 2. Zatem ilorazem jest:
Q(x) = 3x2 – 1x + 2
Q(x) = 3x2 – x + 2
Zauważ ponownie, że współczynniki (zaznaczone na zielono) są uzyskiwane z liczb poniżej linii poziomej i że pozostała część podziału to: R(x) = 3.
Używając algorytm dzielenia, Musimy:
Dywidenda = Dzielnik · Iloraz + Reszta
3x3 + 2x2 + x +5 = (x + 1) · (3x2 – x + 2) + 3
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 – (Furg) Przy dzieleniu wielomianu P(x) przez dwumian (x – a), używając praktycznego urządzenia Briota-Ruffiniego, znaleźliśmy:
Wartości a, q, p i r to odpowiednio:
a) – 2; 1; – 6 i 6.
b) – 2; 1; – 2 i – 6.
c) 2; – 2; – 2 i – 6.
d) 2; – 2; 1 i 6.
e) 2; 1; – 4 i 4.
Rozwiązanie:
Zauważ, że zdanie mówi, że wielomian P(x) został podzielony przez dwumian (x – a), więc będzie to dzielnik. Z praktycznego urządzenia Briota-Ruffini mamy, że liczba na lewo od pionowej linii jest pierwiastkiem dzielnika, więc a = – 2.
Nadal na podstawie praktycznego urządzenia Briota-Ruffiniego wiemy, że konieczne jest powtórzenie pierwszego współczynnika dywidendy poniżej linii poziomej, a zatem q = 1.
Aby określić wartość p, ponownie użyjmy poręcznego urządzenia. Popatrz:
– 2 · q + p = – 4
Wiemy, że q = 1, odkryte wcześniej, tak:
– 2 · 1 + p = – 4
– 2 + p = – 4
p = – 4 + 2
p = –2
Podobnie musimy:
– 2 · 5 +4 = r
– 10 + 4 = r
r = – 6
Dlatego a = – 2; q = 1; p = –2; r = – 6.
Odpowiedź: alternatywa b.
Przeczytaj też: Podział wielomianów - wskazówki, metody, ćwiczenia
Pytanie 2 - Podziel wielomian P(x) = x4 – 1 przez dwumian D(x) = x – 1.
Rozwiązanie:
Zauważ, że wielomian P(x) nie jest zapisany w pełnej postaci. Przed zastosowaniem praktycznego urządzenia Briot-Ruffini musimy napisać je w pełnej formie. Popatrz:
P(x) = x4 + 0x3 + 0x2 + 0x – 1
Po dokonaniu tej obserwacji możemy kontynuować praktyczne urządzenie Briota-Ruffiniego. Ustalmy pierwiastek dzielnika, a następnie zastosujmy algorytm:
x-1 = 0
x = 1
Możemy wywnioskować, że dzieląc wielomian P(x) = x4 – 1 przez dwumian D(x) = x – 1, mamy: wielomian Q(x) = x3 + x2 + x + 1 i reszta R(x) = 0.
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/divisao-polinomios-utilizando-dispositivo-briotruffini.htm
