Relacja Eulera to równość, która wiąże liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian w wielościanach wypukłych. Mówi, że liczba ścian plus liczba wierzchołków jest równa liczbie krawędzi plus dwa.
Relacja Eulera jest dana przez:
Gdzie,
F to liczba twarzy,
V liczba wierzchołków,
TEN liczba krawędzi.
Relację Eulera możemy wykorzystać do określenia lub potwierdzenia nieznanych wartości V, F lub A, gdy wielościan jest wypukły.
| Wielościan | F | V | TEN | F+V | A + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Sześcian | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| trójkątna piramida | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| Pięciokątny pryzmat podstawy | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| regularny ośmiościan | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
Przykład
Wielościan wypukły ma 20 ścian i 12 wierzchołków. Określ liczbę krawędzi.
Korzystanie z relacji Eulera i izolowanie A:
Zastępując wartości F i V:
Twarze, wierzchołki i krawędzie
Wielościany to solidne, trójwymiarowe kształty geometryczne bez zaokrąglonych boków. Te boki są ścianami (F) wielościanu.
Spotkanie twarzy nazywamy krawędziami (A).
Wierzchołki to punkty, w których spotykają się trzy lub więcej krawędzi.
wielościany wypukłe
Wielościany wypukłe to bryły geometryczne, które nie wykazują wklęsłości, dlatego na żadnej z ich powierzchni nie występują kąty wewnętrzne większe niż 180º.
W tym wielościanie kąt wewnętrzny zaznaczony na niebiesko ma więcej niż 180º, więc nie jest to wielościan wypukły.
Zobacz więcej o wielościany.
Ćwiczenia dotyczące relacji Eulera
Ćwiczenie 1
Znajdź liczbę ścian w wielościanie z 9 krawędziami i 6 wierzchołkami.
Prawidłowa odpowiedź: 5 twarzy.
Korzystanie z relacji Eulera:
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5
Ćwiczenie 2
Dwunastościan to bryła platońska o 12 ścianach. Wiedząc, że ma 20 wierzchołków, określ jego liczbę krawędzi.
Poprawna odpowiedź:
Korzystanie z relacji Eulera:
F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = A
Ćwiczenie 3
Jak nazywa się wielościan z 4 wierzchołkami i 6 krawędziami w stosunku do liczby ścian, gdzie ścianami są trójkąty?
Odpowiedź: czworościan.
Musimy określić jego liczbę twarzy.
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4
Wielościan, który ma 4 ściany w kształcie trójkątów, nazywa się czworościanem.
Kim był Leonhard Paul Euler?
Leonhard Paul Euler (1707-1783) był jednym z najbardziej biegłych matematyków i fizyków w historii, a także brał udział w badaniach astronomicznych. Szwajcar mówiący po niemiecku, był profesorem fizyki w Akademii Nauk w Petersburgu, a później w Akademii Berlińskiej. Opublikował kilka prac z matematyki.
Dowiedz się również:
- Bryły geometryczne
- Geometria przestrzenna
- Figury geometryczne
- Pryzmat - figura geometryczna
- Piramida
- Kostka brukowa
- Sześcian
