Geometria analityczna bada elementy geometryczne w układzie współrzędnych w płaszczyźnie lub przestrzeni. Te obiekty geometryczne są określone przez ich położenie i położenie w stosunku do punktów i osi tego układu orientacji.
Od starożytnych ludów, takich jak Egipcjanie i Rzymianie, idea współrzędnych pojawiła się już w historii. Ale dopiero w XVII wieku, dzięki pracom René Descartes i Pierre de Fermat, ta dziedzina matematyki została usystematyzowana.
Kartezjański układ ortogonalny
Ortogonalny układ kartezjański jest bazą odniesienia do lokalizacji współrzędnych. Tworzą ją w płaszczyźnie dwie prostopadłe do siebie osie.
- Początek O(0,0) tego układu jest przecięciem tych osi.
- Oś x to odcięta.
- Oś y jest rzędną.
- Cztery ćwiartki są zorientowane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
zamówiona para
Dowolny punkt na płaszczyźnie ma współrzędną P(x, y).
x jest odciętą punktu P i stanowi odległość od jego prostopadłego rzutu na oś x do początku.
y jest rzędną punktu P i jest odległością od jego rzutu prostopadłego na oś y do początku.
odległość między dwoma punktami
Odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie kartezjańskiej to długość odcinka łączącego te dwa punkty.
Wzór na odległość między dwoma punktami oraz
każdy.
Współrzędne punktu środkowego
Punkt środkowy to punkt, który dzieli segment na dwie równe części.
Istnienie środek segmentu
, jego współrzędne są średnimi arytmetycznymi odciętej i rzędnej.
oraz
Warunek trzypunktowego wyrównania
Biorąc pod uwagę punkty: .
Te trzy punkty zostaną wyrównane, jeśli wyznacznik poniższej macierzy będzie równy zero.
Przykład
Współczynnik kątowy linii
stok prostej jest styczną jej nachylenia
względem osi x.
Aby uzyskać nachylenie z dwóch punktów:
Jeśli m > 0, linia rośnie, w przeciwnym razie, jeśli m < 0, linia opada.
ogólne równanie prostej
Gdzie Ten,b oraz C są stałymi liczbami rzeczywistymi i ten oraz b nie są jednocześnie zerowe.
Przykład
Równanie linii znające punkt i nachylenie
otrzymał punkt i stok
.
Równanie linii będzie wyglądało następująco:
Przykład
Forma zredukowana równania prostego
Gdzie:
m to nachylenie;
n jest współczynnikiem liniowym.
nie jest uporządkowana w miejscu przecięcia linii z osią y.
Przykład
Wyglądać Równanie liniowe.
Względna pozycja między dwiema równoległymi liniami na płaszczyźnie
Dwie wyraźne linie są równoległe, gdy ich nachylenia są równe.
jeśli prosty r ma nachylenie i prosty s ma nachylenie
, są one równoległe, gdy:
W tym celu twoje skłonności muszą być równe.
Styczne są równe, gdy kąty są równe.
Względna pozycja między dwiema konkurującymi liniami prostymi w samolocie
Dwie linie są zbieżne, gdy ich nachylenia są różne.
Z kolei zbocza różnią się, gdy ich kąty nachylenia względem osi x są różne.
prostopadłe linie
Dwie reszty są prostopadłe, gdy iloczyn ich nachylenia jest równy -1.
dwie proste r oraz s, wyraźny, ze zboczami oraz
, są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:
lub
Innym sposobem sprawdzenia, czy dwie linie są prostopadłe, jest ich równanie w postaci ogólnej.
Równania prostych r i s to:
Dwie prostopadłe do niego linie, gdy:
Wyglądać Prostopadłe linie.
Obwód
Obwód to miejsce na płaszczyźnie, gdzie wszystkie punkty P(x, y) są w tej samej odległości r od jego środka C(a, b), gdzie r jest miarą bycia promieniem.
Równanie obwodu w postaci zredukowanej
Gdzie:
r to promień, odległość między dowolnym punktem na łuku a środkiem. C.
ten oraz b są współrzędne centrum C.
ogólne równanie okręgu
Uzyskuje się go poprzez rozwinięcie kwadratów równania zredukowanego obwodu.
W ćwiczeniach bardzo często pokazuje się ogólną postać równania obwodu, znaną również jako postać normalna.
stożkowy
Słowo stożek pochodzi od stożka i odnosi się do krzywych uzyskanych przez jego przekrojenie. Elipsa, hiperbola i parabola to krzywe zwane stożkowymi.
Elipsa
Elipsa jest krzywą zamkniętą uzyskaną przez przecięcie prostego okrągłego stożka przez płaszczyznę ukośną do osi, która nie przechodzi przez wierzchołek i nie jest równoległa do tworzących.
Na płaszczyźnie zbiór wszystkich punktów, których suma odległości do dwóch wewnętrznych punktów stałych jest stała.
Elementy elipsy:
- F1 i F2 to ogniska elipsy;
- 2c to ogniskowa elipsy. Jest to odległość między F1 i F2;
- Punkt O to środek elipsy. Jest to punkt środkowy między F1 i F2;
- A1 i A2 to wierzchołki elipsy;
- segment
oś wielka i równa 2a.
- segment
oś mała jest równa 2b.
- Ekscentryczność
gdzie 0 < i < 1.
Zredukowane równanie elipsy
Rozważmy punkt P(x, y) zawarty w elipsie, gdzie x jest odciętą, a y jest rzędną tego punktu.
Środek elipsy w początku układu współrzędnych i oś główna (AA) na osi x.
Środek elipsy w początku układu współrzędnych i oś główna (AA) na osi y.
Zredukowane równanie elipsy z osiami równoległymi do osi współrzędnych
biorąc pod uwagę punkt jako początek systemu kartezjańskiego i punkt
jako środek elipsy.
Oś główna AA, równoległa do osi x.
Oś główna AA, równoległa do osi y.
Hiperbola
Hiperbola to zbiór punktów na płaszczyźnie, gdzie różnica między dwoma stałymi punktami F1 i F2 daje stałą, dodatnią wartość.
Elementy hiperboli:
- F1 i F2 to ogniska hiperboli.
- 2c =
to ogniskowa.
- Punktem jest centrum hiperboli O, Średnia segmentu F1F2.
- A1 i A2 to wierzchołki.
- 2a = A1A2 jest osią rzeczywistą lub poprzeczną.
- 2b = B1B2 to oś urojona lub sprzężona.
-
jest ekscentryczność.
Przez trójkąt B1OA2
Równanie zredukowane hiperboli
Z rzeczywistą osią wokół osi x i środkiem w punkcie początkowym.
Z rzeczywistą osią na osi y i środkiem w punkcie początkowym.
Równanie hiperboli z osiami równoległymi do osi współrzędnych
Oś rzeczywista AA równoległa do osi x i środka .
Oś rzeczywista AA równoległa do osi y i środka .
Przypowieść
Parabola to miejsce, w którym zbiór punktów P(x, y) znajduje się w tej samej odległości od stałego punktu F i prostej d.
Elementy przypowieści:
- F jest przedmiotem przypowieści;
- d jest prostą wytyczną;
- Oś symetrii to linia prosta przechodząca przez ognisko F i prostopadła do linii prowadzącej.
- V jest wierzchołkiem paraboli.
- p to odcinek o tej samej długości między ogniskiem F a wierzchołkiem V e, pomiędzy wierzchołkiem a dyrektywą d.
Zredukowane równania paraboli
Z wierzchołkiem na początku i osią symetrii na osi y.
Jeśli p>0 wklęsłość w górę.
Jeśli p<0 wklęsłość skierowana w dół.
Z wierzchołkiem na początku i osią symetrii na osi x.
Jeśli p>0 wklęsłość w prawo.
Jeśli p<0 wklęsłość w lewo.
Z osią symetrii równoległą do osi y i wierzchołka .
Z osią symetrii równoległą do osi x i wierzchołka .
ćwicz z Ćwiczenia z geometrii analitycznej.
Dowiedz się więcej na:
Plan kartezjański
odległość między dwoma punktami
stożkowy
Obliczanie współczynnika kątowego
