Proporcja to równość racji. Dwie proporcje są proporcjonalne, gdy wynik dzielenia licznika i mianownika pierwszej relacji jest równy wynikowi dzielenia drugiej.
Gdzie w, w, w oraz D są to liczby niezerowe iw tej kolejności tworzą proporcję.
Czytamy proporcję z następujących sposobów:
- ten jest dla b z tego samego powodu co C jest dla D;
- ten jest dla b jak C jest dla D;
- ten oraz b są proporcjonalne do C oraz D.
W proporcji:
Przykład
Równość jest prawdziwa, ponieważ 4/2 = 2, a także 12/6 = 2.
Właściwości proporcji
Właściwości to narzędzia matematyczne ułatwiające rozwiązywanie problemów. Wykorzystując właściwości proporcji możemy stworzyć inne proporcje, bardziej przydatne przy rozwiązywaniu problemów.
Podstawowa własność proporcji
Iloczyn środków jest równy iloczynowi ekstremów.
Następująca równość między przyczynami będącymi proporcjami,
To prawda, że:
Powszechnie nazywa się tę właściwość mnożeniem krzyżowym. Ta właściwość jest używana w procedurze zwanej zasadą trzech.
Przykład
Inne właściwości
Niektórym właściwościom nie nada się specjalnych nazw, chociaż są one ważne w obliczeniach.
Właściwość 1
Dodawanie (lub odejmowanie) mianowników do liczników ich stosunków nie zmienia proporcji.
będąc wiernym proporcji
Warto więc:
W pierwszym stosunku dodajemy lub odejmujemy mianownik b, a w drugim dodajemy lub odejmujemy mianownik d.
Przykład
Warto więc:
Właściwość 2
Dodawanie (lub odejmowanie) liczników i mianowników drugiego stosunku do pierwszego jest równe pierwszemu lub drugiemu stosunkowi.
Jeśli proporcja jest prawdziwa:
Warto więc:
Przykład
Jeśli proporcja jest prawdziwa:
Warto więc:
Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Mapa przedstawia skalę 1:3500 (od 1 do 3500) centymetrów. Na mapie wykonano pomiar 8 centymetrów. Ten pomiar na mapie przedstawia ile rzeczywistych centymetrów?
Skalę można zapisać jako przyczynę .
Z tego powodu licznik reprezentuje centymetry na mapie, a mianownik — rzeczywiste centymetry.
Możemy w takiej kolejności wpisać przyczynę nieznanej wartości.
W liczniku są centymetry zmierzone na mapie, natomiast w mianowniku są centymetry rzeczywiste, które chcemy wyznaczyć.
Pisząc stosunek między tymi dwoma powodami, mamy:
Aby określić nieznaną wartość, posługujemy się podstawową własnością proporcji: iloczyn ekstremów jest równy iloczynowi średnich.
Dlatego 8cm na mapie odpowiada 28 000cm rzeczywistym.
Ćwiczenie 2
Catarina zamierza upiec ciasto dla swojej rodziny i w tym celu stworzyła przepis, który przewiduje następujące ilości:
4 jajka;
2 szklanki cukru;
300 gramów mąki pszennej.
Ponieważ ma 7 jajek i chciałaby ich użyć od razu, zwiększając ilość jajek w przepisie, należy proporcjonalnie zwiększyć ilość pozostałych składników. Ile zatem w jego przygotowaniu należy użyć innych składników?
Ustalmy nowe proporcjonalne ilości każdego składnika.
Cukier
W oryginalnym przepisie na każde 4 jajka stosuje się 2 szklanki cukru.
W nowym preparacie Catarina użyje 7 jajek i choć wciąż nie znamy liczby kubków cukru, na razie nazwiemy to x.
Ponieważ te proporcje muszą być proporcjonalne, dopasujemy je.
Do wyznaczenia wartości x posługujemy się podstawową własnością proporcji, która mówi, że iloczyn ekstremów jest równy iloczynowi średnich.
Izolując x po lewej stronie równości:
W ten sposób Catarina zużyje trzy i pół szklanki cukru w nowym preparacie.
Idąc tym samym rozumowaniem dotyczącym ilości pszenicy, mamy:
Dlatego Catarina będzie musiała użyć 525 gramów mąki pszennej do nowego przygotowania swojego ciasta.
Dowiedz się więcej od:
Stosunek i proporcja
Ćwiczenia rozumu i proporcji
Proporcjonalność
ilości proporcjonalne
