TEN rozkład na czynniki pierwsze prime jest bardzo ważnym narzędziem w rozwoju matematyki, ponieważ można uprościć wyrażenia numeryczne lub numer algebraiczny i oblicz MDC lub MMC liczb całkowitych.
Rozkład na czynniki pierwsze jest jednym z najważniejszych wyników w dziedzinie algebry i jest formalnie znany jako Fundamentalne Twierdzenie Arytmetyki, które mówi, że wszystkie dodatnia liczba całkowita większa niż 1 można zapisać (lub rozłożyć) w postaci mnożenie liczb pierwszych.
Przeczytaj też: Właściwości mnożenia do obliczeń umysłowych
Jak rozłożyć na czynniki pierwsze?
Niezbędne jest zrozumienie pojęcia liczb pierwszych, ponieważ użyjemy ich do rozbicia liczb całkowitych. Tutaj pokrótce powrócimy do definicji liczb pierwszych.
|
Liczby pierwsze to te, które znajdują się na Twojej liście dzielniki tylko numer 1 i siebie. Aby na przykład sprawdzić, czy liczby 11 i 21 są pierwsze, czy nie, musimy wymienić dzielniki obu liczb: D (11) = {1, 11} D (21) = {1, 3, 7, 21} Zwróć uwagę, że przy wyliczaniu dzielników 11 pojawia się tylko liczba 1 i sama liczba, więc liczba 11 jest liczbą pierwszą, co nie dotyczy liczby 21, która ma więcej liczb niż 1 i 21, więc liczba 21 nie jest liczbą pierwszą. główny liczby pierwsze których używamy do przeprowadzenia dekompozycji są pierwszymi, więc bardzo ważne jest, abyśmy znali przynajmniej następujące liczby pierwsze: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …} |
Rozkład na czynniki pierwsze jest bardzo potężnym narzędziem w matematyce, ponieważ umożliwia uproszczenie wyrażeń algebraicznych i liczbowych. Formalnie rozkład na czynniki pierwsze jest znany jako Podstawowe Twierdzenie Arytmetyki, które stwierdza:
„Każda liczba całkowita większa niż 1 może być zapisana jako wielokrotność liczb pierwszych”.
Co więcej, ta dekompozycja jest unikalna dla każdej liczby, to znaczy, że na przykład podczas dekompozycji liczby 12 będzie ona jedyna z taką faktoryzacją. Liczba dopuszczająca rozkład nazywa się złożony.
Jak rozłożyć liczbę złożoną?
Aby rozłożyć liczbę złożoną, musimy wykonać podziały kolejne liczby pierwsze – jeśli możliwe jest dzielenie – aż iloraz będzie równy 1. Na koniec musimy zapisać liczby pierwsze użyte w formie mnożenia (forma faktoryczna). Zobacz przykłady poniżej:
Przykład 1
Wpisz liczbę 24 w formie faktorów.
Aby zapisać liczbę 24 w formie rozłożonej na czynniki, musimy ją podzielić przez pierwsza możliwa liczba pierwsza, czyli podzielić liczbę 24 przez liczbę pierwszą, w której podział jest dokładny.
Używając algorytm dzielenia, podzielmy 24 przez2.
Znaleziony teraz iloraz był liczbą 12, więc musimy go ponownie podzielić przez pierwszą liczbę pierwszą, której dzielenie jest dokładne, to znaczy przez2.
Musimy kontynuuj ten proces, aż iloraz wyniesie 1. Zauważ, że teraz iloraz jest równy 6, więc możemy podzielić go przez 2, ponieważ liczba 2 jest pierwszą liczbą pierwszą, dla której dzielenie jest nadal możliwe.
Zauważ, że iloraz jest teraz równy 3, więc nie można go podzielić przez 2. W takich przypadkach podzielmy ją przez następną liczbę pierwszą, której dzielenie jest dokładne, czyli przez3.
Ponieważ iloraz jest równy 1, rozkład się skończył, wystarczy teraz zapisać liczby pierwsze (które są w kluczu) jako iloczyn. Popatrz:
24 = 2 · 2 ·2 · 3
24 = 23· 3
Zobacz, że wpisaliśmy liczbę 24 w formie produktu. Oznacza to, że rozliczyliśmy liczbę 24 za pomocą liczb pierwszych.
Przykład 2
Wpisz liczbę 25 w formie rozłożonej na czynniki.
W tym przykładzie ponownie użyjemy algorytmu dzielenia, ale napiszemy go inaczej, zobacz:
25 = 5 · 5 + 0
5 = 5 · 1 + 0
Liczba 25 w formie faktorów to:
25 = 5 ·5
25 = 52
Przeczytaj też: Kryteria podzielności – procesy ułatwiające funkcjonowanie podziału
Praktyczna metoda wykonywania rozkładu na czynniki pierwsze
Patrząc na poprzednią metodę, jeśli liczba do rozłożenia na czynniki jest bardzo duża, jak 1024, to coś mamy have dość pracochłonne, ponieważ kolejne dzielenia przez liczby pierwsze będą konieczne, aż iloraz będzie równy do 1.
Metoda, którą zobaczymy dalej, to nic innego jak uproszczenie podziału. Zamiast pisać wszystkie elementy dzielenia (dzielnik, dzielna, iloraz i reszta), wpiszmy tylko liczbę pierwszą, przez którą będziemy dzielić liczbę do rozłożenia na czynniki oraz iloraz dzielenia. Zobacz przykłady:
Faktoring liczby 60
Rozkładając na czynniki liczbę 60, prześledźmy ten sam krok po kroku, ale po prostu wpiszmy iloraz dzielenia (czyli wynik) i liczby pierwszej, przez którą podzielimy liczbę 60.
Zobacz to, dzieląc 60 przez2,wynik to 30 i dzieląc liczbę 30 przez 2, wynik to 15 i tak dalej, aż wynik dzielenia będzie równy 1. Proces pozostaje ten sam, jedyną różnicą jest uproszczenie informacji.
Liczba 60 w formie rozłożonej na czynniki to:
60 = 2 · 2 · 3 ·5
60 = 22 · 3 · 5
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 – Rozłóż liczbę 192 na czynniki pierwsze.
Rozkład
Liczba 192 w rozłożonej formie to:
192 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3
192 = 26 · 3
pytanie 2 – Rozważ liczby p i q takie, że p = 25 · 5 i q = 32. Określ stosunek między q i p.
Rozkład
Stosunek między dwiema liczbami to podział między nimi. Musimy zawsze przestrzegać kolejności, w jakiej zostały podane, aby podzielić q przez p. Przed dokonaniem właściwego podziału rozłóżmy na czynniki liczbę q, szukając sposobu na uproszczenie obliczeń.
Mamy q = 32, więc możemy to zapisać tak:
q = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
q = 25
Teraz, odkąd rozłożyliśmy liczbę q, możemy złożyć stosunek między q i p i podstawić wartości.
