Prawo cosinusa: zastosowanie, przykłady i ćwiczenia

TEN Prawo cosinusa służy do obliczania miary jednego boku lub nieznanego kąta dowolnego trójkąta, znając jego inne miary.

Oświadczenie i formuły

Twierdzenie cosinus mówi, że:

"W każdym trójkącie kwadrat po jednej stronie jest sumą kwadratów po dwóch pozostałych bokach minus dwukrotność iloczynu tych dwóch boków przez cosinus kąta między nimi.."

Tak więc z prawa cosinusów mamy następujące relacje między bokami i kątami trójkąta:

Przykłady

1. Dwa boki trójkąta mierzą 20 cm i 12 cm i tworzą między nimi kąt 120°. Oblicz wymiar trzeciej strony.

Rozwiązanie

Aby obliczyć miarę trzeciej strony użyjemy prawa cosinusów. W tym celu rozważmy:

b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = - 0,5 (wartość znaleziona w tabelach trygonometrycznych).

Zastępując te wartości we wzorze:

² = 20² + 12² - 2. 20. 12. (- 0,5)
² = 400 + 144 + 240
² = 784
a = √784
a = 28 cm

Więc trzecia strona miary 28 cm.

2. Wyznacz miarę boku AC i miarę kąta z wierzchołkiem w punkcie A z poniższego rysunku:

Najpierw wyznaczmy AC = b:

b² = 8² + 10² – 2. 8. 10. co 50
b² = 164 – 160. co 50
b² = 164 – 160. 0,64279
b ≈ 7,82

Teraz wyznaczmy miarę kąta za pomocą prawa cosinusów:

8² = 10² + 7,82² – 2. 10. 7,82. sałata
64 = 161,1524 – 156,4 cos
cos  = 0,62
 = 52º

Uwaga: Aby znaleźć wartości kątów cosinusowych, używamy Tabela trygonometryczna. W nim mamy wartości kątów od 1º do 90º dla każdej funkcji trygonometrycznej (sinus, cosinus i tangens).

Podanie

Prawo cosinusa można zastosować do dowolnego trójkąta. Czy to ostrokątne (kąty wewnętrzne mniejsze niż 90°), rozwarte (z wewnętrznym kątem większym niż 90°), czy prostokątne (z wewnętrznym kątem równym 90°).

Reprezentacja trójkątów ze względu na ich kąty wewnętrzne

A co z trójkątami prostokątnymi?

Zastosujmy prawo cosinusów do strony przeciwnej do kąta 90°, jak wskazano poniżej:

² = b² + c² - 2. B. do. bo 90º

Ponieważ cos 90º = 0, powyższe wyrażenie staje się:

² = b² + c²

Co jest tym samym, co wyrażenie twierdzenie Pitagorasa. Możemy więc powiedzieć, że twierdzenie to jest szczególnym przypadkiem prawa cosinusów.

Prawo cosinusa jest odpowiednie dla problemów, w których znamy dwie strony i kąt między nimi i chcemy znaleźć trzecią stronę.

Nadal możemy go używać, gdy znamy trzy boki trójkąta i chcemy poznać jeden z jego kątów.

W sytuacjach, w których znamy dwa kąty i tylko jedną stronę i chcemy wyznaczyć drugą stronę, wygodniej jest użyć funkcji prawo grzechów.

Definicja cosinusa i sinusa

Cosinus i sinus kąta są zdefiniowane jako stosunki trygonometryczne w trójkącie prostokątnym. Strona przeciwna do kąta prostego (90º) nazywana jest przeciwprostokątną, a pozostałe dwie strony nazywane są nogami, jak pokazano na poniższym rysunku:

Reprezentacja prawego trójkąta i jego boków: biodra i przeciwprostokątna

Cosinus jest następnie definiowany jako stosunek między pomiarem sąsiedniej nogi a przeciwprostokątnej:

Z drugiej strony sinus to stosunek między pomiarem przeciwległej nogi a przeciwprostokątnej.

Ćwiczenia na egzamin wstępny

1. (UFSCar) Jeśli boki trójkąta mierzą x, x + 1 i x +2, to dla dowolnego x rzeczywisty i większy od 1, cosinus największego kąta wewnętrznego tego trójkąta jest równy:

a) x / x + 1
b) x / x + 2
c) x + 1 / x + 2
d) x – 2/3x
e) x – 3/2x

Zobacz odpowiedź

Alternatywa e) x – 3 / 2x

2. (UFRS) W trójkącie przedstawionym na poniższym rysunku AB i AC mają tę samą miarę, a wysokość względem boku BC jest równa 2/3 miary BC.

Na podstawie tych danych cosinus kąta CÂB wynosi:

a) 7/25
b) 7/20
c) 4/5
d) 5/7
e) 5/6

Zobacz odpowiedź

Alternatywa a) 7/25

3. (UF-Juiz de Fora) Dwa boki trójkąta mierzą 8 mi 10 mi tworzą kąt 60°. Trzeci bok tego trójkąta mierzy:

a) 2√21 m
b) 2√31 m
c) 2√41 m
d) 2√51 m
e) 2√61 m

Zobacz odpowiedź

Alternatywa a) 2√21 m

Przeczytaj więcej na ten temat:

• Trygonometria
• Trygonometria w trójkącie prostokątnym
• Ćwiczenia trygonometrii w trójkącie prawym
• Relacje trygonometryczne
• Koło trygonometryczne
• Funkcje trygonometryczne