Twierdzenie Pitagorasa: wzór i ćwiczenia

O twierdzenie Pitagorasa podaje długość boków prawego trójkąta. Ta figura geometryczna jest utworzona przez wewnętrzny kąt 90°, zwany kątem prostym.

Stwierdzenie tego twierdzenia brzmi:

"Suma kwadratów twoich nóg odpowiada kwadratowi twojej przeciwprostokątnej."

Wzór na twierdzenie Pitagorasa

Zgodnie ze stwierdzeniem twierdzenia Pitagorasa formuła jest reprezentowana w następujący sposób:

² = b² + c²

Istota,

: przeciwprostokątna
b: kateto
do: kateto

TEN przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego i bok przeciwny do kąta prostego. Pozostałe dwie strony to nogi. Kąt utworzony przez te dwie strony ma miarę równą 90º (kąt prosty).

Zidentyfikowaliśmy również nogi, zgodnie z kątem odniesienia. Oznacza to, że stronę można nazwać stroną sąsiednią lub stroną przeciwną.

Gdy noga znajduje się blisko kąta odniesienia, nazywa się to a sąsiadujący, z drugiej strony, jeśli jest pod tym kątem, nazywa się naprzeciwko.

Poniżej znajdują się trzy przykłady zastosowań twierdzenia Pitagorasa do relacji metrycznych trójkąta prostokątnego.

Przykład 1: obliczyć miarę przeciwprostokątnej

Jeśli trójkąt prostokątny ma wymiary nóg 3 cm i 4 cm, jaka jest przeciwprostokątna tego trójkąta?

Dlatego boki prawego trójkąta mają 3 cm, 4 cm i 5 cm.

Przykład 2: oblicz miarę jednej z nóg

Określ wymiar nogi będącej częścią trójkąta prostokątnego, którego przeciwprostokątna ma 20 cm, a druga noga mierzy 16 cm.

Dlatego wymiary boków prawego trójkąta wynoszą 12 cm, 16 cm i 20 cm.

Przykład 3: sprawdź, czy trójkąt jest prostokątem

Trójkąt ma boki o wymiarach 5 cm, 12 cm i 13 cm. Skąd wiesz, czy jest to trójkąt prostokątny?

Aby udowodnić, że trójkąt prostokątny jest prawdziwy, pomiary jego boków muszą być zgodne z twierdzeniem Pitagorasa.

Ponieważ podane miary spełniają twierdzenie Pitagorasa, tzn. kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg, to możemy powiedzieć, że trójkąt jest prostokątem.

Przeczytaj też: Relacje metryczne w trójkącie prostokątnym

Trójkąt Pitagorasa

Kiedy mierzy boki a trójkąt prostokątny są dodatnimi liczbami całkowitymi, trójkąt nazywa się trójkątem pitagorejskim.

W tym przypadku nogi i przeciwprostokątna nazywane są „garniturą pitagorejską” lub „trio pitagorejskim”. Aby sprawdzić, czy trzy liczby tworzą trio pitagorejskie, używamy relacji do² = b² + c².

Najbardziej znane trio pitagorejskie reprezentują liczby: 3, 4, 5. Przeciwprostokątna równa się 5, większa odnoga równa 4, a mniejsza odnoga równa 3.

Zwróć uwagę, że pola kwadratów narysowanych po obu stronach trójkąta są ze sobą powiązane, podobnie jak Twierdzenie Pitagorasa: powierzchnia kwadratu na długim boku odpowiada sumie pól pozostałych dwóch kwadrat.

Co ciekawe, wielokrotności tych liczb również tworzą kolor pitagorejski. Na przykład, jeśli pomnożymy trio 3, 4 i 5 przez 3, otrzymamy liczby 9, 12 i 15, które również tworzą kolor pitagorejski.

Oprócz kolorów 3, 4 i 5 istnieje wiele innych kolorów. Jako przykład możemy wymienić:

• 5, 12 i 13
• 7, 24, 25
• 20, 21 i 29
• 12, 35 i 37

Przeczytaj też: Trygonometria w trójkącie prostokątnym

Kim był Pitagoras?

według historii Pitagoras z Samosu (570 a. DO. - 495 r. C.) był greckim filozofem i matematykiem, który założył Szkołę Pitagorasa w południowych Włoszech. Nazywany także Towarzystwem Pitagorasa, obejmował studia z matematyki, astronomii i muzyki.

Chociaż relacje metryczne trójkąta prostokątnego były już znane Babilończykom, którzy żyli na długo przed Pitagorasem, uważa się, że pierwszy dowód na to, że twierdzenie to, zastosowane do dowolnego trójkąta prostokątnego, został dokonany przez Pitagoras.

Twierdzenie Pitagorasa jest jednym z najbardziej znanych, najważniejszych i stosowanych w matematyce. Jest niezbędny w rozwiązywaniu problemów z geometrii analitycznej, geometrii płaskiej, geometrii przestrzennej i trygonometrii.

Oprócz twierdzenia, inne ważne wkłady Pitagorasa Society for Mathematics były:

• Odkrywanie liczb niewymiernych;
• Własności liczb całkowitych;
• MMC i MDC.

Przeczytaj też: Wzory matematyczne

Dowody twierdzenia Pitagorasa

Istnieje kilka sposobów na udowodnienie twierdzenia Pitagorasa. Na przykład książka Twierdzenie Pitagorasa, opublikowana w 1927 r., przedstawiała 230 sposobów na jej zademonstrowanie, a kolejna edycja, wydana w 1940 r., zwiększyła się do 370 demonstracji.

Obejrzyj poniższy film i sprawdź kilka demonstracji twierdzenia Pitagorasa.

Na ile sposobów można udowodnić twierdzenie Pitagorasa? - Betty Fei

Ćwiczenia z komentarzem dotyczące twierdzenia Pitagorasa

Pytanie 1

(PUC) Suma kwadratów trzech boków trójkąta prostokątnego wynosi 32. Jak długa jest przeciwprostokątna trójkąta?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Zobacz odpowiedź

Prawidłowa alternatywa: b) 4.

Z informacji zawartych w oświadczeniu wiemy, że² + b² + c² = 32. Z drugiej strony przez twierdzenie Pitagorasa musimy:² = b² + c² .

Zastąpienie wartości b²+c² przez² w pierwszym wyrażeniu znajdujemy:

² +² =32 ⇒ 2.² = 32 ⇒ do² = 32/2 ⇒ do² = 16 ⇒ a = √ 16
a=4

Aby uzyskać więcej pytań, zobacz: Twierdzenie Pitagorasa - ćwiczenia

pytanie 2

(I albo)

Na powyższym rysunku, który przedstawia konstrukcję schodów z 5 stopniami o tej samej wysokości, całkowita długość poręczy jest równa:

a) 1,9 m
b) 2,1 m
c) 2,0 m
d) 1,8 m
e) 2,2 m

Zobacz odpowiedź

Prawidłowa alternatywa: b) 2,1m.

Całkowita długość poręczy będzie równa sumie dwóch odcinków o długości równej 30 cm z odcinkiem, dla którego nie znamy miary.

Na rysunku widać, że nieznany przekrój reprezentuje przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego wymiar jednej z nóg wynosi 90 cm.

Aby obliczyć miarę drugiej nogi, musimy dodać długość 5 kroków. Dlatego mamy b = 5. 24 = 120 cm.

Aby obliczyć przeciwprostokątną, zastosujmy do tego trójkąta twierdzenie Pitagorasa.

² = 90² + 120² do² = 8100 + 14 400 ⇒ do² = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 cm

Zwróć uwagę, że mogliśmy wykorzystać ideę garniturów pitagorejskich do obliczenia przeciwprostokątnej, ponieważ nogi (90 i 120) są wielokrotnościami kolorów 3, 4 i 5 (pomnożenie wszystkich wyrazów przez 30).

W ten sposób całkowity wymiar poręczy wyniesie:

30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m

Sprawdź swoją wiedzę z Ćwiczenia trygonometrii

pytanie 3

(UERJ) Millôr Fernandes, w pięknym hołdzie dla matematyki, napisał wiersz, z którego wydobywamy poniższy fragment:

Do tylu kartek książki do matematyki,
iloraz zakochał się pewnego dnia szaleńczo
przez Nieznanego.
Spojrzał na nią swoim niezliczonym wzrokiem
i widział ją od wierzchołka do podstawy: dziwna postać;
romboidalne oczy, trapezoidalne usta,
prostokątne ciało, kuliste piersi.
Uczyniłeś swoje życie równoległym do jej,
dopóki nie spotkali się w Infinity.
"Kim jesteś?" – zapytał z radykalnym niepokojem.
„Jestem sumą kwadratów nóg.
Ale możesz nazywać mnie przeciwprostokątną.”

(Millôr Fernandes. Trzydzieści lat siebie.)

Incognita myliła się, mówiąc, kto to był. Aby spełnić twierdzenie Pitagorasa, należy wykonać następujące czynności:

a) „Jestem kwadratem sumy nóg. Ale nazwij mnie kwadratem przeciwprostokątnej.
b) „Jestem sumą nóg. Ale możesz nazywać mnie przeciwprostokątną.
c) „Jestem kwadratem sumy nóg. Ale możesz nazywać mnie przeciwprostokątną.
d) „Jestem sumą kwadratów nóg. Ale nazwij mnie kwadratem przeciwprostokątnej.

Zobacz odpowiedź

Alternatywa d) „Jestem sumą kwadratów nóg. Ale nazwij mnie kwadratem przeciwprostokątnej.

Dowiedz się więcej na ten temat:

• Trójkąt równoramienny
• Sinus, cosinus i tangens
• Matematyka w Enem