Dwie różne linie, które znajdują się na tej samej płaszczyźnie, są współbieżne, gdy mają jeden wspólny punkt.
Równoległe linie tworzą ze sobą 4 kąty i zgodnie z pomiarami tych kątów mogą być prostopadłe lub ukośne.
Gdy utworzone przez nie 4 kąty są równe 90º, nazywa się je prostopadłymi.
Na rysunku pod liniami r i s są prostopadłe.
Jeśli utworzone kąty różnią się od 90º, nazywa się je ukośnymi konkurentami. Na poniższym rysunku przedstawiamy linie ty i v skośne.
Linie konkurencyjne, zbieżne i równoległe
Dwie linie należące do tej samej płaszczyzny mogą być współbieżne, zbieżne lub równoległe.
Podczas gdy równoległe linie mają jeden punkt przecięcia, pokrywające się linie mają co najmniej dwa punkty wspólne, a równoległe linie nie mają wspólnych punktów.
Względna pozycja dwóch prostych
Znając równania dwóch prostych możemy zweryfikować ich wzajemne położenie. W tym celu musimy rozwiązać układ utworzony przez równania dwóch linii. Więc mamy:
- Linie współbieżne: system jest możliwy i określony (pojedynczy wspólny punkt).
- Linie koincydencji: system jest możliwy i określony (nieskończony punkt wspólny).
- Linie równoległe: system niemożliwy (brak punktów wspólnych).
Przykład:
Określ względną pozycję między linią r: x - 2y - 5 = 0 a linią s: 2x - 4y - 2 = 0.
Rozwiązanie:
Aby znaleźć względną pozycję między podanymi liniami, musimy obliczyć układ równań utworzony przez ich linie, więc mamy:
Rozwiązując układ przez dodawanie, znajdujemy równanie 0y = - 8, ponieważ nie ma rozwiązania tego równania, jest to niemożliwe. W ten sposób obie linie są równoległe.
Kąty przeciwne firmy Vertex
Dwie konkurujące linie tworzą dwie pary kąty. Te kąty mają wspólny punkt zwany wierzchołkiem.
Pary kątów przeciwległych do wierzchołka są przystające, to znaczy mają ten sam wymiar.
Na poniższym rysunku przedstawiamy kąty AÔB i CÔD przeciwległe do wierzchołka, a także kąty AÔC i BÔD.
Punkt przecięcia dwóch równoległych linii prostych
Punkt przecięcia dwóch zbieżnych linii należy do równań tych dwóch linii. W ten sposób możemy znaleźć współrzędne tego punktu wspólnego, rozwiązując układ utworzony przez równania tych prostych.
Przykład:
Określ współrzędne punktu P wspólnego dla linii to r i s, których równania to odpowiednio x + 3y + 4 = 0 i 2x - 5y - 2 = 0.
Rozwiązanie:
Aby znaleźć współrzędne punktu, musimy rozwiązać układ za pomocą podanych równań. Więc mamy:
Rozwiązując system mamy:
Zastępując tę wartość w pierwszym równaniu, otrzymujemy:
Dlatego współrzędne punktu przecięcia to , czyli
.
Dowiedz się więcej, czytając również:
- Prostopadłe linie
- prosto
- stożkowy
Rozwiązane ćwiczenia
1) W układzie osi ortogonalnych - 2x + y + 5 = 0 i 2x + 5y - 11 = 0 są odpowiednio równaniami prostych r i s. Znajdź współrzędne punktu przecięcia r i s.
P (3, 1)
2) Jakie są współrzędne wierzchołków trójkąta, wiedząc, że równania linii podparcia jego boków to - x + 4y - 3 = 0, - 2x + y + 8 = 0 i 3x + 2y - 5 = 0 ?
(3, - 2)
B (1, 1)
C (5, 2)
3) Określ względną pozycję linii r: 3x - y -10 = 0 i 2x + 5y - 1 = 0.
Linie proste są zbieżne, będąc punktem przecięcia (3, - 1).
