Prawo grzechów: zastosowanie, przykład i ćwiczenia

TEN prawo grzechów określa, że ​​w każdym trójkącie stosunek sinusów kąta jest zawsze proporcjonalny do miary strony przeciwnej do tego kąta.

Twierdzenie to pokazuje, że w tym samym trójkącie stosunek wartości jednego boku do sinusa jego przeciwnego kąta będzie zawsze wynosił stały.

Tak więc dla trójkąta ABC o bokach a, b, c prawo grzechów dopuszcza następujące zależności:

Reprezentacja praw grzechów w trójkącie

Przykład

Dla lepszego zrozumienia obliczmy miarę boków AB i BC tego trójkąta w funkcji miary b boku AC.

Na mocy prawa sinusów możemy ustalić następującą zależność:

Stąd AB = 0,816b i BC = 1,115b.

Uwaga: Wartości sinusów konsultowano w tabela stosunków trygonometrycznych. Znajdziemy w nim wartości kątów od 1º do 90º każdej funkcji trygonometrycznej (sinus, cosinus i tangens).

W obliczeniach trygonometrycznych najczęściej stosuje się kąty 30º, 45º i 60º. Dlatego nazywa się je niezwykłymi kątami. Sprawdź tabelę z wartościami poniżej:

Relacje trygonometryczne	30°	45°	60°
Sinus	1/2	√2/2	√3/2
cosinus	√3/2	√2/2	1/2
Tangens	√3/3	1	√3

Stosowanie Prawa Grzechów

Używamy prawa sinusów w trójkątach ostrych, gdzie kąty wewnętrzne są mniejsze niż 90º (ostre); lub w trójkątach rozwartych, które mają kąty wewnętrzne większe niż 90º (rozwarte). W takich przypadkach możesz również użyć Prawo cosinusa.

Głównym celem korzystania z prawa grzechów lub cosinusów jest odkrycie wymiarów boków trójkąta, a także jego kątów.

Reprezentacja trójkątów według ich kątów wewnętrznych

A prawo grzechów w trójkącie prostokątnym?

Jak wspomniano powyżej, Prawo Grzechów jest używane zarówno w trójkątach ostrych, jak i rozwartych.

W trójkątach prostokątnych, utworzonych przez kąt wewnętrzny 90º (prosty), wykorzystaliśmy twierdzenie Pitagorasa i relacje między jego bokami: przeciwną, przyległą i przeciwprostokątną.

Reprezentacja prawego trójkąta i jego boków

Twierdzenie to ma następujące stwierdzenie: „suma kwadratów ich nóg odpowiada kwadratowi ich przeciwprostokątnej". Jego formuła jest wyrażona:

H² = ca² + co²

Tak więc, gdy mamy trójkąt prostokątny, sinus będzie stosunkiem długości przeciwległej nogi do długości przeciwprostokątnej:

Na przeciwprostokątnej brzmi to przeciwnie.

Cosinus odpowiada proporcji między długością sąsiedniej nogi a długością przeciwprostokątnej, reprezentowanej przez wyrażenie:

Przeczytaj sąsiadujący cewnik nad przeciwprostokątną.

Ćwiczenia na egzamin wstępny

1.(UFPB) Ratusz pewnego miasta zbuduje nad rzeką, która przecina to miasto, most, który musi być prosty i łączyć dwa punkty, A i B, znajdujące się na przeciwległych brzegach rzeki. Aby zmierzyć odległość między tymi punktami, geodeta zlokalizował trzeci punkt, C, 200 m od punktu A i na tym samym brzegu rzeki co punkt A. Za pomocą teodolitu (precyzyjny przyrząd do pomiaru kątów poziomych i pionowych, często stosowany w pracach topograficznych) geodeta zaobserwował, że kąty mierzone odpowiednio 30º i 105º, jak pokazano na poniższym rysunku.

Na podstawie tych informacji można stwierdzić, że odległość w metrach od punktu A do punktu B wynosi:

Zobacz odpowiedź

cel: Określ miarę AB.

Idea 1 - Prawo grzechów do określenia AB

Figura tworzy trójkąt ABC, gdzie bok AC mierzy 200 mi mamy wyznaczone dwa kąty.

będąc kątem naprzeciwko boku AC 200 m i kąta C naprzeciw boku AB, możemy określić AB poprzez grzechy prawo.

TEN grzechy prawo określa, że ​​stosunki między wymiarami boków i sinusów przeciwległych kątów, odpowiednich do tych boków, są równe w tym samym trójkącie.

Pomysł 2 - określ kąt

Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180°, więc możemy wyznaczyć kąt B.

B + 105° + 30° = 180°
B = 180° - 105° - 30°
B = 45°

Zastąpienie wartości w prawie sinusów i dokonywaniu obliczeń.

Zauważ, że w mianowniku znajduje się pierwiastek kwadratowy. Weźmy ten pierwiastek, wykonując racjonalizację, która jest mnożeniem zarówno mianownika, jak i licznika ułamka przez sam pierwiastek.

Zastępując wartość AC mamy:

Dlatego odległość między punktami A i B wynosi .

2. (Mackenzie – SP) Trzy wyspy A, B i C pojawiają się na mapie w skali 1:10000, jak pokazano na rysunku. Spośród alternatyw, ta, która najlepiej przybliża odległość między wyspami A i B, to:

a) 2,3 km
b) 2,1 km
c) 1,9 km
d) 1,4 km
e) 1,7 km

Zobacz odpowiedź

Prawidłowa odpowiedź: e) 1,7 km

Cel: Wyznacz miarę odcinka AB.

Pomysł 1: Użyj prawa sinus, aby znaleźć miarę AB

Prawo grzechów: Wymiary boków trójkąta są proporcjonalne do sinusów ich przeciwnych kątów.

Pomysł 2: określ kąt

Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 180º.

30 + 105 + C = 180
135 + C = 180
C = 180 - 135
C = 45

Pomysł 3: Zastosuj wartość C w prawie sinusów

Pomysł 4: przybliż wartość pierwiastka kwadratowego i użyj skali

Zrobienie

12. 1,4 = 16,8

Skala mówi 1:10000, mnożąc:

16,8. 10000 = 168 000 cm

Pomysł 5: przejście z cm na km

168 000 cm/100 000 = 1,68 km

Wniosek: Ponieważ obliczona odległość wynosi 1,68 km, najbliższą alternatywą jest litera e.

Uwaga: Aby przejść od cm do km dzielimy przez 100 000, ponieważ w poniższej skali od centymetrów do km liczymy 5 miejsc po lewej stronie.

km -5- hm -4- tama -3- m -2- dm -1- cm mm

3. (Unifor-CE) Wiadomo, że w każdym trójkącie miara każdego boku jest wprost proporcjonalna do sinusa kąta przeciwnego do boku. Korzystając z tych informacji, można wywnioskować, że miara boku AB trójkąta pokazanego poniżej wynosi:

Zobacz odpowiedź

Oświadczenie zawiera prawo sinusów.

Z trygonometrii wynika, że: sin 120 = sin 60.

Zamiana wartości we wzorze:

Aby nie pozostawić pierwiastka w mianowniku, stosujemy racjonalizację, mnożąc mianownik i licznik przez pierwiastek 3.

Dlatego miarą po stronie AB jest .

Przeczytaj więcej na ten temat:

• Sinus, cosinus i tangens
• Trygonometria
• Relacje trygonometryczne
• Koło trygonometryczne
• Funkcje trygonometryczne
• Stosunki trygonometryczne