Odległość między dwoma punktami jest miarą odcinka linii, który je łączy.
Możemy obliczyć tę miarę za pomocą geometrii analitycznej.
Odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie
W płaszczyźnie punkt jest w pełni określony, znając skojarzoną z nim parę uporządkowaną (x, y).
Aby poznać odległość między dwoma punktami, najpierw przedstawimy je na płaszczyźnie kartezjańskiej, a następnie obliczymy tę odległość.
Przykłady:
1) Jaka jest odległość między punktem A (1.1) a punktem B (3.1)?
d (A, B) = 3 - 1 = 2
2) Jaka jest odległość między punktem A (4.1) a punktem B (1,3)?
Zauważ, że odległość między punktem A a punktem B jest równa przeciwprostokątnej prawego trójkąta z odnogami 2 i 3.
Więc użyjemy twierdzenie Pitagorasa aby obliczyć odległość między podanymi punktami.
[zimnica)]2 = 32 + 22 = √13
Wzór na odległość między dwoma punktami na płaszczyźnie
Aby znaleźć wzór na odległość, możemy uogólnić obliczenia wykonane w przykładzie 2.
Dla dowolnych dwóch punktów, takich jak A(x1yy1) i B (x2tak2), mamy:
Aby dowiedzieć się więcej, przeczytaj także:
- geometria płaszczyzny
- Plan kartezjański
- prosto
Odległość między dwoma punktami w przestrzeni
Używamy trójwymiarowego układu współrzędnych do reprezentowania punktów w przestrzeni.
Punkt jest całkowicie określony w przestrzeni, gdy jest z nim skojarzona uporządkowana trójka (x, y, z).
Aby znaleźć odległość między dwoma punktami w przestrzeni, możemy początkowo przedstawić je w układzie współrzędnych, a następnie wykonać obliczenia.
Przykład:
Jaka jest odległość między punktem A (3,1.0) a punktem B (1,2.0)?
W tym przykładzie widzimy, że punkty A i B należą do płaszczyzny xy.
Odległość zostanie podana przez:
[zimnica)]2 = 12 + 22 = √5
Wzór na odległość między dwoma punktami w przestrzeni
Aby dowiedzieć się więcej, przeczytaj także:
- Geometria przestrzenna
- Równanie liniowe
- Wzory matematyczne
Rozwiązane ćwiczenia
1) Punkt A należy do osi odciętej (oś x) i znajduje się w równej odległości od punktów B (3.2) i C (-3.4). Jakie są współrzędne punktu A?
Ponieważ punkt A należy do osi odciętej, jego współrzędna wynosi (a, 0). Więc musimy znaleźć wartość a.
(0 - 3)2 + (do - 2)2 = (0 + 3)2 + (do -4)2
9 + do2 - 4a +4 = 9 + a2 - 8 + 16
4. = 12
a = 3
(3.0) to współrzędne punktu A.
2) Odległość od punktu A (3,a) do punktu B (0,2) wynosi 3. Oblicz wartość rzędnych a.
32 = (0 - 3)2 + (2-a)2
9 = 9 + 4 - 4a + a2
2 - 4. +4 = 0
a = 2
3) ENEM - 2013
Telewizja w ostatnich latach przeszła prawdziwą rewolucję pod względem jakości obrazu, dźwięku i interaktywności z widzem. Ta transformacja wynika z konwersji sygnału analogowego na sygnał cyfrowy. Jednak wiele miast wciąż nie ma tej nowej technologii. Chcąc przynieść te korzyści trzem miastom, stacja telewizyjna zamierza zbudować nową wieżę transmisyjną, która wysyła sygnał do istniejących już w tych miastach anten A, B i C. Lokalizacje anten są reprezentowane na płaszczyźnie kartezjańskiej:
Wieża musi znajdować się w równej odległości od trzech anten. Właściwe miejsce do budowy tej wieży odpowiada punktowi współrzędnych
a) (65; 35)
b) (53; 30)
c) (45; 35)
d) (50; 20)
e) (50; 30)
Prawidłowa alternatywa e: (50;30)
Zobacz też: odległość między dwoma punktami ćwiczenia
4) ENEM - 2011
Sąsiedztwo miasta zaplanowano na płaskim terenie, z równoległymi i prostopadłymi ulicami, wyznaczającymi bloki tej samej wielkości. Na poniższej płaszczyźnie współrzędnych kartezjańskich to sąsiedztwo znajduje się w drugiej ćwiartce, a odległości w
osie podane są w kilometrach.
Linia prosta równania y = x + 4 przedstawia planowanie przebiegu podziemnej linii metra, która będzie przebiegać przez sąsiedztwo i inne rejony miasta.
W punkcie P = (-5,5) znajduje się szpital publiczny. Gmina zwróciła się do komitetu planistycznego o zaplanowanie stacji metra tak, aby jej odległość od szpitala, mierzona w linii prostej, nie przekraczała 5 km.
W odpowiedzi na prośbę gminy komisja słusznie argumentowała, że zostanie to automatycznie spełnione, gdyż przewidziano już budowę stacji w tym miejscu.
a) (-5,0)
b) (-3.1)
c) (-2.1)
d) (0,4)
e) (2.6)
Prawidłowa alternatywa b: (-3.1).
Zobacz też: ćwiczenia z geometrii analitycznej
