Średnia, Tryb i Mediana to miary tendencji centralnej stosowane w statystyce.
Średni
Średnia (Mi) jest obliczana przez dodanie wszystkich wartości w zbiorze danych i podzielenie przez liczbę elementów w tym zbiorze.
Ponieważ średnia jest miarą wrażliwą na wartości próbki, jest bardziej odpowiednia w sytuacjach, w których dane są mniej lub bardziej równomiernie rozłożone, czyli wartości bez dużych rozbieżności.
Formuła
Istota,
Mi: średnia
x1, x2, x3,..., xNie: wartości danych
n: liczba elementów zbioru danych
Przykład
Zawodnicy drużyny koszykarskiej mają następujący wiek: 28, 27, 19, 23 i 21 lat. Jaki jest średni wiek tego zespołu?
Rozwiązanie
Przeczytaj też Prosta średnia i średnia ważona i Średnia geometryczna.
Moda
Moda (MO) reprezentuje najczęstszą wartość zbioru danych, więc aby ją zdefiniować, wystarczy obserwować częstotliwość pojawiania się wartości.
Zestaw danych nazywa się bimodalnym, gdy ma dwa tryby, czyli dwie wartości są częstsze.
Przykład
W sklepie obuwniczym przez jeden dzień sprzedawano następujące numery butów: 34, 39, 36, 35, 37, 40, 36, 38, 36, 38 i 41. Jaka jest wartość modowa tej próbki?
Rozwiązanie
Obserwując sprzedane liczby zauważyliśmy, że liczba 36 była tą o największej częstotliwości (3 pary), dlatego tryb jest równy:
MO = 36
mediana
Mediana (Mre) reprezentuje podstawową wartość zbioru danych. Aby znaleźć wartość mediany, konieczne jest umieszczenie wartości w kolejności rosnącej lub malejącej.
Gdy liczba elementów w zestawie jest parzysta, medianę wyznacza średnia z dwóch wartości centralnych. Zatem te wartości są dodawane i dzielone przez dwa.
Przykłady
1) W szkole nauczyciel wychowania fizycznego spisał wzrost grupy uczniów. Biorąc pod uwagę, że zmierzone wartości wyniosły: 1,54 m; 1,67m, 1,50m; 1,65m; 1,75m; 1,69m; 1,60 m; 1,55 m i 1,78 m, jaka jest wartość mediany wzrostu uczniów?
Rozwiązanie
Najpierw musimy uporządkować wartości. W takim przypadku ustawimy je w porządku rosnącym. Zatem zbiór danych będzie:
1,50; 1,54; 1,55; 1,60; 1,65; 1,67; 1,69; 1,75; 1,78
Ponieważ zbiór składa się z 9 elementów, co jest liczbą nieparzystą, to mediana będzie równa 5 elementowi, czyli:
Mre = 1,65 m²
2) Oblicz medianę następującej próbki danych: (32, 27, 15, 44, 15, 32).
Rozwiązanie
Najpierw musimy uporządkować dane, więc mamy:
15, 15, 27, 32, 32, 44
Ponieważ próbka składa się z 6 elementów, co jest liczbą parzystą, mediana będzie równa średniej z elementów centralnych, czyli:
Aby dowiedzieć się więcej, przeczytaj również:
- Statystyczny
- Środki dyspersji
- Wariancja i odchylenie standardowe
Rozwiązane ćwiczenia
1. (BB 2013 – Fundacja Carlosa Chagasa). W pierwszych czterech dniach roboczych tygodnia kierownik oddziału bankowego obsługiwał 19, 15, 17 i 21 klientów. W piątym dniu roboczym tego tygodnia menedżer ten odwiedził n klientów.
Jeśli średnia dzienna liczba klientów obsługiwanych przez tego menedżera w ciągu pięciu dni roboczych tego tygodnia wynosiła 19, mediana wynosiła
a) 21.
b) 19.
c) 18.
d) 20.
e) 23.
Chociaż znamy już średnią, najpierw musimy poznać liczbę klientów, których obsłużono w piątym dniu roboczym. A zatem:
Aby znaleźć medianę musimy ułożyć wartości w porządku rosnącym, więc mamy: 15, 17, 19, 21, 23. Dlatego mediana wynosi 19.
Alternatywnie: b) 19.
2. (ENEM 2010 – pytanie 175 – Prova Rosa). Poniższa tabela przedstawia wyniki drużyny piłkarskiej w ostatnich mistrzostwach.
Lewa kolumna pokazuje liczbę strzelonych bramek, a prawa kolumna pokazuje, w ilu meczach drużyna zdobyła tę liczbę bramek.
| Zdobyte bramki | Liczba meczów |
|---|---|
| 0 | 5 |
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 3 | 3 |
| 4 | 2 |
| 5 | 2 |
| 7 | 1 |
Jeśli X, Y i Z są odpowiednio średnią, medianą i modą tego rozkładu, to
a) X = Y b) Z c) Y d) Z d) Z
Musimy obliczyć średnią, medianę i modę. Aby obliczyć średnią musimy dodać łączną liczbę bramek i podzielić przez liczbę meczów.
Łączną liczbę bramek ustala się mnożąc liczbę strzelonych bramek przez liczbę meczów, czyli:
Cele ogółem = 0,5+1,3+2,4+3,3+4,2+5,2+7,1 = 45
Jeśli suma meczów wynosi 20, średnia bramek będzie równa:
Aby znaleźć wartość modową, sprawdźmy najczęstszą liczbę bramek. W tym przypadku zauważamy, że w 5 meczach nie padły żadne bramki.
Po tym wyniku najczęstsze były mecze, które miały 2 bramki (w sumie 4 mecze). W związku z tym,
Z = MO = 0
Mediana zostanie znaleziona poprzez uporządkowanie numerów bramek. Ponieważ liczba gier była równa 20, co jest wartością parzystą, musimy obliczyć średnią między dwiema centralnymi wartościami, więc mamy:
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7
Dzięki tym wynikom wiemy, że:
X (średnia) = 2,25
Y (mediana) = 2
Z (tryb) = 0
To znaczy Z
Alternatywnie: e) Z
Zobacz też:
- Rodzaje grafiki
- Odchylenie standardowe
- Statystyki - Ćwiczenia
- Matematyka w Enem
