Równanie liniowe: ogólne, zredukowane i segmentowe

Równanie prostej można określić, wykreślając ją na płaszczyźnie kartezjańskiej (x, y). Znając współrzędne dwóch różnych punktów należących do prostej możemy wyznaczyć jej równanie.

Możliwe jest również zdefiniowanie równania prostej na podstawie jej nachylenia i współrzędnych punktu do niej należącego.

ogólne równanie prostej

Dwa punkty definiują linię. W ten sposób możemy znaleźć ogólne równanie prostej, wyrównując dwa punkty z ogólnym punktem (x, y) na linii.

Niech punkty A(xyy) i B(x_byy_b), nieprzypadkowe i należące do planu kartezjańskiego.

Trzy punkty są wyrównywane, gdy wyznacznik macierzy skojarzonej z tymi punktami jest równy zero. Musimy więc obliczyć wyznacznik następującej macierzy:

Rozwijając wyznacznik znajdujemy następujące równanie:

(y -y_b) x + (x_b - x) y + xtak_b - x_btak = 0

Zadzwońmy:

a = (y -y_b)
b = (x_b - x)
c = xtak_b - x_btak

Ogólne równanie linii prostej definiuje się jako:

topór + o + c = 0

Gdzie , b i do są stałe i i b nie mogą być jednocześnie zerowe.

Przykład

Znajdź ogólne równanie prostej przechodzącej przez punkty A(-1, 8) i B(-5, -1).

Najpierw musimy napisać warunek wyrównania trzech punktów, definiując macierz powiązaną z danymi punktami oraz punkt ogólny P(x, y) należący do prostej.

Rozwijając wyznacznik znajdujemy:

(8+1)x + (1-5)y + 40 + 1 = 0

Ogólne równanie prostej przechodzącej przez punkty A(-1,8) i B(-5,-1) to:

9x - 4 lata + 41 = 0

Aby dowiedzieć się więcej, przeczytaj także:

• Kwatera główna
• wyznacznik
• Twierdzenie Laplace'a

Równanie zredukowane liniowo

Współczynnik kątowy

Możemy znaleźć równanie prostej r znając jej nachylenie (kierunek), czyli wartość kąta θ, jaki przedstawia prosta względem osi x.

Do tego kojarzymy liczbę m, który nazywa się nachyleniem linii, tak że:

m = tg θ

stok m można go również znaleźć, znając dwa punkty należące do linii prostej.

Ponieważ m = tg θ, wtedy:

Przykład

Określ nachylenie prostej r, która przechodzi przez punkty A(1,4) i B(2,3).

Istota,

x₁ = 1 i y₁ = 4
x₂ = 2 i y₂ = 3

Znajomość współczynnika kątowego linii m i punkt P₀(x₀yy₀) należące do niego możemy zdefiniować jego równanie.

W tym celu podstawimy znany punkt P we wzorze nachylenia.₀ oraz punkt ogólny P(x, y), również należący do prostej:

Przykład

Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt A(2,4) o nachyleniu 3.

Aby znaleźć równanie prostej, wystarczy zastąpić podane wartości:

y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0

współczynnik liniowy

współczynnik liniowy Nie prosto r jest definiowany jako punkt, w którym linia przecina oś y, czyli punkt o współrzędnych P(0,n).

Korzystając z tego punktu, mamy:

y - n = m (x - 0)

y = mx + n (równanie linii zredukowanej).

Przykład

Wiedząc, że równanie linii r jest dane przez y = x + 5, zidentyfikuj jej nachylenie, jej nachylenie i punkt, w którym linia przecina oś y.

Skoro mamy zredukowane równanie prostej, to:

m = 1
Gdzie m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
Punktem przecięcia prostej z osią y jest punkt P(0,n), gdzie n=5, wtedy punktem będzie P(0,5)

Przeczytaj też Obliczanie nachylenia

Równanie odcinka linii

Możemy obliczyć nachylenie za pomocą punktu A(a, 0), w którym prosta przecina oś x oraz punktu B(0,b) przecinającego oś y:

Biorąc pod uwagę n = b i podstawiając w zredukowanej formie, mamy:

Dzieląc wszystkie pręty przez ab, znajdujemy równanie odcinkowe prostej:

Przykład

Napisz w formie odcinkowej równanie prostej przechodzącej przez punkt A(5.0) o nachyleniu 2.

Najpierw znajdźmy punkt B(0,b), zastępując w wyrażeniu nachylenia:

Podstawiając wartości w równaniu, mamy równanie odcinkowe linii:

Przeczytaj również o:

• Plan kartezjański
• Odległość między dwoma punktami
• stożkowy
• prosto
• Równoległe linie
• Prostopadłe linie
• Odcinek
• Funkcja liniowa
• Funkcja afiniczna
• Powiązane ćwiczenia funkcyjne

Rozwiązane ćwiczenia

1) Mając linię, która ma równanie 2x + 4y = 9, określ jej nachylenie.

Zobacz odpowiedź

4 lata = - 2x + 9
y = - 2/4 x + 9/4
y = - 1/2 x + 9/4
Dlatego m = - 1/2

2) Napisz równanie prostej 3x + 9y - 36 = 0 w formie zredukowanej.

Zobacz odpowiedź

y = -1/3 x + 4

3) ENEM - 2016

Na targi naukowe budowane są dwa pociski rakietowe, A i B, które zostaną wystrzelone. Plan jest taki, aby wystrzelić je razem w celu przechwycenia pocisku B, gdy osiągnie on swoją maksymalną wysokość. Aby tak się stało, jeden z pocisków będzie opisywał trajektorię paraboliczną, a drugi rzekomo prostą trajektorię. Wykres przedstawia wysokości osiągane przez te pociski w funkcji czasu w przeprowadzonych symulacjach.

Na podstawie tych symulacji zaobserwowano, że trajektoria pocisku B powinna zostać zmieniona tak, aby
cel został osiągnięty.

Aby osiągnąć cel, współczynnik kątowy linii reprezentującej trajektorię B musi
a) zmniejszenie o 2 jednostki.
b) zmniejszenie o 4 jednostki.
c) zwiększyć o 2 jednostki.
d) zwiększyć o 4 jednostki.
e) zwiększyć o 8 jednostek.

Zobacz odpowiedź

Najpierw musimy znaleźć początkową wartość nachylenia linii B.
Pamiętając, że m = tg Ɵ, mamy:
m₁ = 12/6 = 2
Aby przejść przez punkt maksymalnej wysokości trajektorii A, nachylenie linii B musi mieć następującą wartość:
m₂ = 16/4 = 4
Zatem nachylenie linii B będzie musiało zmienić się z 2 na 4, a następnie wzrośnie o 2 jednostki.

Alternatywa c: zwiększ 2 jednostki

Zobacz też: Ćwiczenia z geometrii analitycznej