Co to są liczby pierwsze?

Liczby pierwsze to te, które mają tylko dwa dzielniki: jeden i samą liczbę. Są częścią zbioru liczb naturalnych.

Na przykład 2 jest liczbą pierwszą, ponieważ jest podzielna tylko przez jeden i samą siebie.

Gdy liczba ma więcej niż dwa dzielniki, nazywa się je liczbami złożonymi i można je zapisać jako iloczyn liczb pierwszych.

Na przykład 6 nie jest liczbą pierwszą, jest liczbą złożoną, ponieważ ma więcej niż dwa dzielniki (1, 2 i 3) i jest zapisana jako iloczyn dwóch liczb pierwszych 2 x 3 = 6.

Kilka uwag na temat liczb pierwszych:

• Liczba 1 nie jest liczbą pierwszą, ponieważ jest podzielna tylko przez siebie;
• Liczba 2 jest najmniejszą liczbą pierwszą, a także jedyną parzystą;
• Liczba 5 jest jedyną liczbą pierwszą kończącą się na 5;
• Pozostałe liczby pierwsze są nieparzyste i kończą się cyframi 1, 3, 7 i 9.

Jak sprawdzić, czy liczba jest liczbą pierwszą?

Jednym ze sposobów na znalezienie liczby pierwszej jest użycie sita Eratostenesa.

1. Utwórz tabelę i wpisz liczby z zakresu, na przykład od 1 do 100.
2. Liczba 1 może zostać wyeliminowana, ponieważ nie jest liczbą pierwszą.
3. Oznacz wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 10 (2, 3, 5 i 7) różnymi kolorami.
4. Wyeliminuj wielokrotności tych liczb, zaznaczając je odpowiednimi kolorami.
5. Pozostałe liczby w tabeli, które nie zostały sprawdzone, to liczby pierwsze.

Z tabeli widać, że jest 25 liczb pierwszych od 1 do 100. Czy oni są:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 i 97.

Innym sposobem rozpoznania liczby pierwszej jest wykonanie dzieleń z badaną liczbą. Aby ułatwić ten proces, zobacz niektóre kryteria podzielności.

Podzielność przez 2: każda liczba, której cyfra jednostkowa jest parzysta, jest podzielna przez 2;

Podzielność przez 3: liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3;

Podzielność przez 5: liczba będzie podzielna przez 5, gdy cyfra jednostki jest równa 0 lub 5.

Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2, 3 i 5 kontynuujemy dzielenie z kolejnymi liczbami pierwszymi mniejszymi od liczby do:

• Jeśli jest to dzielenie dokładne (reszta równa się zero), to liczba nie jest liczbą pierwszą.
• Jeśli jest to dzielenie niedokładne (reszta niezerowa), a iloraz wynosi mniejszy niż przegroda, to liczba jest pierwsza.
• Jeśli jest to dzielenie niedokładne (reszta niezerowa), a iloraz wynosi równy dzielnikowi, to liczba jest pierwsza.

Rozwiązany przykład: sprawdź, czy liczba 113 jest liczbą pierwszą.

O numerze 113 mamy:

• Nie ma ostatniej parzystej cyfry i dlatego nie jest podzielna przez 2;
• Suma jego cyfr (1+1+3 = 5) nie jest liczbą podzielną przez 3;
• Nie kończy się na 0 lub 5, więc nie jest podzielne przez 5.

Jak widzieliśmy, 113 nie jest podzielne przez 2, 3 i 5. Teraz okaże się, czy jest podzielne przez liczby pierwsze mniejsze niż przy użyciu operacji dzielenia.

Dzielenie przez liczbę pierwszą 7:

Dzielenie przez liczbę pierwszą 11:

Zauważ, że doszliśmy do niedokładnego dzielenia, którego iloraz jest mniejszy niż dzielnik. To dowodzi, że liczba 113 jest liczbą pierwszą.

Liczby pierwsze od 1 do 1000

Sprawdź 168 liczb pierwszych od 1 do 1000.

Liczby pierwsze od 1 do 10:
2, 3, 5, 7
Liczby pierwsze od 10 do 100:
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Liczby pierwsze od 100 do 200:
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
Liczby pierwsze od 200 do 300:
211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293
Liczby pierwsze od 300 do 400:
307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397
Liczby pierwsze od 400 do 500:
401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499
Liczby pierwsze od 500 do 600:
503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599
Liczby pierwsze od 600 do 700:
601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691
Liczby pierwsze od 700 do 800:
701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797
Liczby pierwsze od 800 do 900:
809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887
Liczby pierwsze od 900 do 1000:
907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

Przeczytaj również o:

• dzielniki
• Wielokrotności i Dzielniki
• Co to są liczby pierwsze?