Podobieństwo trójkątów: skomentowane i rozwiązane ćwiczenia

TEN trójkątne podobieństwo służy do znalezienia nieznanej miary jednego trójkąta, znając miary innego trójkąta.

Gdy dwa trójkąty są do siebie podobne, pomiary odpowiadających im boków są proporcjonalne. Ta zależność jest używana do rozwiązywania wielu problemów geometrycznych.

Skorzystaj więc z skomentowanych i rozwiązanych ćwiczeń, aby rozwiać wszystkie wątpliwości.

Problemy rozwiązane

1) Uczeń Żeglarza - 2017

Zobacz poniższy rysunek

Budynek rzuca 30-metrowy cień na ziemię w tym samym momencie, w którym osoba o wzroście 6 m rzuca cień o długości 2,0 m. Można powiedzieć, że wysokość budynku jest warta

a) 27 m²
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m

Zobacz odpowiedź

Możemy rozważyć budynek, jego rzucany cień i promień słońca, tworząc trójkąt. Podobnie mamy też trójkąt utworzony przez osobę, jej cień i promień słońca.

Biorąc pod uwagę, że promienie słoneczne są równoległe i że kąt między budynkiem a ziemią i osobą wynosi grunt jest równy 90º, trójkąty wskazane na poniższym rysunku są podobne (dwa kąty równa się).

Ponieważ trójkąty są podobne, możemy zapisać następującą proporcję:

Alternatywnie: a) 27 m²

2) Fuvest - 2017

Na rysunku prostokąt ABCD ma boki o długości AB = 4 i BC = 2. Niech M będzie środkiem boku i N środek boku the . Segmenty przechwycić segment odpowiednio w punktach E i F.

Powierzchnia trójkąta AEF jest równa

Zobacz odpowiedź

Obszar trójkąta AEF można znaleźć zmniejszając obszar trójkąta ABE z obszaru trójkąta AFB, jak pokazano poniżej:

Zacznijmy od znalezienia obszaru trójkąta AFB. W tym celu musimy znaleźć wartość wysokości tego trójkąta, ponieważ znana jest wartość podstawowa (AB = 4).

Zauważ, że trójkąty AFB i CFN są podobne pod tym względem, że mają dwa równe kąty (przypadek AA), jak pokazano na poniższym rysunku:

Wykreślmy wysokość H₁, względem boku AB, w trójkącie AFB. Ponieważ miara boku CB jest równa 2, możemy przyjąć, że względna wysokość boku NC w trójkącie FNC jest równa 2 - H₁.

Możemy wtedy zapisać następującą proporcję:

Znając wysokość trójkąta, możemy obliczyć jego powierzchnię:

Aby znaleźć obszar trójkąta ABE, musisz również obliczyć jego wartość wysokości. W tym celu wykorzystamy fakt, że trójkąty ABM i AOE, wskazane na poniższym rysunku, są podobne.

Dodatkowo trójkąt OEB jest trójkątem prostokątnym, a pozostałe dwa kąty są równe (45º), więc jest to trójkąt równoramienny. Zatem obie nogi tego trójkąta są warte H₂, jak na obrazku poniżej:

Zatem bok AO trójkąta AOE jest równy 4 - H_2. Na podstawie tych informacji możemy wskazać następującą proporcję:

Znając wartość wysokości możemy teraz obliczyć powierzchnię trójkąta ABE:

Zatem obszar trójkąta AFE będzie równy:

Alternatywa: d)

3) Cefet/MG - 2015

Poniższa ilustracja przedstawia prostokątny stół bilardowy o szerokości i długości odpowiednio 1,5 i 2,0 m. Gracz musi rzucić białą bilę z punktu B i uderzyć czarną bilę w punkcie P, nie uderzając najpierw żadnej innej. Ponieważ żółta znajduje się w punkcie A, ten gracz rzuci białą piłkę do punktu L, aby mogła odbić się i zderzyć z czarną.

Jeżeli kąt toru padania piłki na bok stołu i kąt odbicia są równe, jak pokazano na rysunku, to odległość od P do Q, w cm, wynosi w przybliżeniu

a) 67
b) 70
c) 74
d) 81

Zobacz odpowiedź

Trójkąty zaznaczone na czerwono na poniższym obrazku są podobne, ponieważ mają dwa równe kąty (kąt równy α i kąt równy 90º).

Dlatego możemy zapisać następującą proporcję:

Alternatywnie: a) 67

4) Wyższa Szkoła Wojskowa/RJ - 2015

W trójkącie ABC punkty D i E należą odpowiednio do boków AB i AC i są takie, że DE / / BC. Jeżeli F jest takim punktem AB, że EF//CD a pomiary AF i FD e wynoszą odpowiednio 4 i 6, to pomiar odcinka DB wynosi:

a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.

Zobacz odpowiedź

Możemy przedstawić trójkąt ABC, jak pokazano poniżej:

Ponieważ odcinek DE jest równoległy do ​​BC, to trójkąty ADE i ABC są podobne pod tym względem, że ich kąty są przystające.

Możemy wtedy zapisać następującą proporcję:

Trójkąty FED i DBC są również podobne, ponieważ segmenty FE i DC są równoległe. Tak więc słuszna jest również następująca proporcja:

Izolując y w tej proporcji, mamy:

Zastępując wartość y w pierwszej równości:

Alternatywnie: a) 15

5) Epcar - 2016

Grunt w kształcie trójkąta prostokątnego zostanie podzielony na dwie działki ogrodzeniem wykonanym na dwusiecznej przeciwprostokątnej, jak pokazano na rysunku.

Wiadomo, że boki AB i BC tego terenu mierzą odpowiednio 80 m i 100 m. Zatem stosunek obwodu działki I do obwodu działki II w tej kolejności wynosi

Zobacz odpowiedź

Aby poznać stosunek między obwodami, musimy znać wartość wszystkich boków rysunku I i rysunku II.

Zauważ, że dwusieczna przeciwprostokątnej dzieli bok BC na dwa przystające segmenty, więc segmenty CM i MB mierzą 50 m.

Ponieważ trójkąt ABC jest prostokątem, możemy obliczyć bok AC, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Należy jednak pamiętać, że ten trójkąt jest trójkątem pitagorejskim.

Zatem przeciwprostokątna jest równa 100 (5. 20) i jedna noga równa 80 (4,20), wtedy druga noga może być równa tylko 60 (3,20).

Zidentyfikowaliśmy również, że trójkąty ABC i MBP są podobne (przypadek AA), ponieważ mają wspólny kąt, a drugi równy 90º.

Tak więc, aby znaleźć wartość x, możemy zapisać następującą proporcję:

Wartość z można znaleźć biorąc pod uwagę proporcję:

Możemy również znaleźć wartość y wykonując:

Teraz, gdy znamy wszystkie strony, możemy obliczyć obwody.

Obwód rysunku I:

Obwód rysunku II:

Dlatego stosunek między obwodami będzie równy:

Alternatywa: d)

6) Enem - 2013

Właściciel farmy chce założyć drążek podporowy, aby lepiej zabezpieczyć dwa słupy o długościach 6 mi 4 m. Rysunek przedstawia rzeczywistą sytuację, w której słupki są opisane segmentami AC i BD oraz prętem jest reprezentowany przez odcinek EF, prostopadły do ​​podłoża, który jest wskazany przez odcinek linii prostej AB. Segmenty AD i BC reprezentują stalowe kable, które zostaną zainstalowane.

Jaka powinna być wartość długości pręta EF?

a) 1 mln
b) 2 mln
c) 2,4 m²
d) 3 m
e) 2 m

Zobacz odpowiedź

Aby rozwiązać problem, nazwijmy wysokość łodygi jako z oraz pomiary odcinków AF i FB x i tak, jak pokazano poniżej:

Trójkąt ADB jest podobny do trójkąta AEF pod tym względem, że oba mają kąt równy 90° i wspólny kąt, więc są podobne w przypadku AA.

Dlatego możemy zapisać następującą proporcję:

Mnożąc „na krzyż”, otrzymujemy równość:

6x = h (x + y) (I)

Z drugiej strony trójkąty ACB i FEB również będą podobne, z tych samych powodów, które przedstawiono powyżej. Mamy więc proporcję:

Rozwiązywanie w ten sam sposób:

4y = h (x + y) (II)

Zauważ, że równania (I) i (II) mają to samo wyrażenie po znaku równości, więc możemy powiedzieć, że:

6x = 4 lata

Podstawiając wartość x w drugim równaniu:

Alternatywnie: c) 2,4 m²

7) Fuvest - 2010

Na rysunku trójkąt ABC jest prostokątny o bokach BC = 3 i AB = 4. Ponadto punkt D należy do obojczyka. , punkt E należący do obojczyka a punkt F należy do przeciwprostokątnej , tak że DECF jest równoległobokiem. gdyby , więc powierzchnia równoległoboku DECF jest warta

Zobacz odpowiedź

Obszar równoległoboku znajduje się przez pomnożenie wartości bazowej przez wysokość. Nazwijmy h wysokością, a x miarą podstawową, jak pokazano poniżej:

Ponieważ DECF jest równoległobokiem, jego boki są równoległe dwa na dwa. W ten sposób boki AC i DE są równoległe. Więc kąty oni są tacy sami.

Możemy wtedy stwierdzić, że trójkąty ABC i DBE są podobne (przypadek AA). Mamy również, że przeciwprostokątna trójkąta ABC jest równa 5 (trójkąt 3,4 i 5).

W ten sposób zapiszmy następującą proporcję:

Aby znaleźć miarę x podstawy, rozważymy następującą proporcję:

Obliczając powierzchnię równoległoboku mamy:

Alternatywnie: a)