ty zbiory liczbowe obejmują następujące zbiory: Naturals (ℕ), Integers (ℤ), Racjonalne (ℚ), Irracjonalne (I), Real (ℝ) i Complexes (ℂ).
Skorzystaj z komentowanych ćwiczeń, aby zweryfikować swoją wiedzę na ten ważny temat matematyki.
Pytanie 1
Która propozycja poniżej jest prawdziwa?
a) Każda liczba całkowita jest wymierna, a każda liczba rzeczywista jest liczbą całkowitą.
b) Przecięcie zbioru liczb wymiernych ze zbiorem liczb niewymiernych ma 1 element.
c) Liczba 1.83333... jest liczbą wymierną.
d) Dzielenie dwóch liczb całkowitych jest zawsze liczbą całkowitą.
Prawidłowa alternatywa: c) Numer 1.83333... jest liczbą wymierną.
Przyjrzyjmy się każdemu ze stwierdzeń:
a) Fałsz. Właściwie każda liczba całkowita jest wymierna, ponieważ można ją zapisać w postaci ułamka. Na przykład liczbę -7, która jest liczbą całkowitą, można zapisać jako ułamek jako -7/1. Jednak nie każda liczba rzeczywista jest liczbą całkowitą, na przykład 1/2 nie jest liczbą całkowitą.
b) Fałsz. Zbiór liczb wymiernych nie ma liczby wspólnej z liczbami niewymiernymi, ponieważ liczba rzeczywista jest albo wymierna, albo niewymierna. Dlatego skrzyżowanie jest zbiorem pustym.
c) Prawda. Numer 1.83333... jest to okresowa dziesięcina, ponieważ cyfra 3 powtarza się w nieskończoność. Ta liczba może być zapisana jako ułamek jako 11/6, więc jest to liczba wymierna.
d) Fałsz. Na przykład 7 podzielone przez 3 równa się 2,33333..., co jest okresem dziesiętnym, więc nie jest liczbą całkowitą.
pytanie 2
Wartość poniższego wyrażenia, gdy a = 6 i b = 9, wynosi:
a) nieparzysta liczba naturalna
b) liczba należąca do zbioru liczb niewymiernych
c) nie jest liczbą rzeczywistą
d) liczba całkowita, której moduł jest większy niż 2
Prawidłowa alternatywa: d) liczba całkowita, której moduł jest większy niż 2.
Najpierw zastąpmy litery wskazanymi wartościami i rozwiążmy wyrażenie:
Zauważ, że (-6)2 różni się od - 62, pierwszą operację można wykonać jako: (-6)2 = (- 6). (- 6) = 36. Bez nawiasów tylko 6 jest do kwadratu, czyli - 62 = - (6.6) = -36.
Kontynuując uchwałę mamy:
Zauważ, że skoro indeks pierwiastka jest liczbą nieparzystą (pierwiastek sześcienny), w zbiorze liczb rzeczywistych występuje pierwiastek liczby ujemnej. Gdyby indeks główny był liczbą parzystą, wynik byłby liczbą zespoloną.
Przeanalizujmy teraz każdą z przedstawionych opcji:
Opcja jest błędna, ponieważ odpowiedź jest liczbą ujemną, która nie jest częścią zbioru liczb naturalnych.
Liczba - 3 nie jest nieskończoną liczbą dziesiętną nieokresową, dlatego nie jest irracjonalna, stąd litera b to też nie jest właściwe rozwiązanie.
Litera do jest również błędne, ponieważ liczba - 3 jest liczbą należącą do zbioru liczb rzeczywistych.
Właściwą opcją może być tylko litera re i faktycznie wynikiem wyrażenia jest liczba całkowita, a modulo -3 wynosi 3, co jest większe niż 2.
pytanie 3
W zestawach (A i B) w poniższej tabeli, która alternatywa reprezentuje relację włączenia?
Prawidłowa alternatywa: a)
Alternatywa „a” jest jedyną, w której jeden zestaw jest zawarty w drugim. Zestaw A zawiera zestaw B lub zestaw B jest zawarty w A.
Więc które stwierdzenia są poprawne?
I - AC B
II - B C A
III - A B
IV - B Ɔ A
a) I i II.
b) I i III.
c) I i IV.
d) II i III.
e) II i IV
Prawidłowa alternatywa: d) II i III.
I - Źle - A nie jest zawarte w B (A Ȼ B).
II - Poprawnie - B jest zawarte w A (B C A).
III – Prawidłowo – A zawiera B (B Ɔ A).
IV – Źle – B nie zawiera A (B ⊅ A).
pytanie 4
Mamy zbiór A = {1, 2, 4, 8 i 16} oraz zbiór B = {2, 4, 6, 8 i 10}. Gdzie według alternatyw znajdują się elementy 2, 4 i 8?
Prawidłowa alternatywa: c).
Elementy 2, 4 i 8 są wspólne dla obu zestawów. Dlatego znajdują się w podzbiorze A ∩ B (przecięcie A z B).
pytanie 5
Biorąc pod uwagę zbiory A, B i C, który obraz reprezentuje A U (B ∩ C)?
Prawidłowa alternatywa: d)
Jedyna alternatywa, która spełnia warunek początkowy B ∩ C (z powodu nawiasów), a później połączenie z A.
pytanie 6
Przeprowadzono ankietę mającą na celu poznanie zwyczajów zakupowych konsumentów w odniesieniu do trzech produktów. W badaniach uzyskano następujące wyniki:
- 40% kupuje produkt A.
- 25% kupuje produkt B.
- 33% kupuje produkt C.
- 20% kupuje produkty A i B.
- 5% kupuje produkty B i C.
- 19% kupuje produkty A i C.
- 2% kupuje wszystkie trzy produkty.
Na podstawie tych wyników odpowiedz:
a) Jaki procent respondentów nie kupuje żadnego z tych produktów?
b) Jaki procent respondentów kupuje produkt A i B, a nie kupuje produktu C?
c) Jaki procent respondentów kupuje przynajmniej jeden z produktów?
Odpowiedzi:
a) 44% respondentów nie spożywa żadnego z trzech produktów.
b) 18% osób spożywających oba produkty (A i B) nie spożywa produktu C.
c) 56% respondentów spożywa przynajmniej jeden z produktów.
Aby rozwiązać ten problem, zróbmy diagram, aby lepiej zwizualizować sytuację.
Zawsze musimy zacząć od przecięcia trzech zbiorów. Następnie uwzględnimy wartość przecięcia dwóch zestawów, a na koniec odsetek osób, które kupują tylko jedną markę produktu.
Zauważono, że odsetek osób spożywających dwa produkty obejmuje również odsetek osób spożywających te trzy produkty.
Dlatego na wykresie wskazujemy procent tych, którzy konsumują tylko dwa produkty. Aby to zrobić, musimy odjąć procent tych, którzy spożywają trzy produkty, od tych, którzy spożywają dwa.
Na przykład wskazany procent, który konsumuje produkt A i produkt B, wynosi 20%, jednak ta wartość jest uwzględniona w 2% związanych z tym, kto konsumuje te trzy produkty.
Odejmując te wartości, tj. 20% - 2% = 18%, otrzymujemy odsetek konsumentów, którzy kupują tylko produkty A i B.
Biorąc pod uwagę te obliczenia, schemat dla opisanej sytuacji będzie taki, jak pokazano na poniższym rysunku:
Na podstawie tego diagramu możemy teraz przejść do odpowiedzi na proponowane pytania.
) Odsetek tych, którzy nie kupują żadnego produktu, jest równy całości, czyli 100%, z wyjątkiem tego, że konsumują jakikolwiek produkt. Musimy więc wykonać następujące obliczenia:
100 - (3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11) = 100 - 56 = 44%
Wkrótce, 44% respondentów nie spożywa żadnego z trzech produktów.
B) Odsetek konsumentów, którzy kupują produkty A i B, a nie kupują produktu C, określa się odejmując:
20 - 2 = 18%
W związku z tym, 18% osób spożywających oba produkty (A i B) nie spożywa produktu C.
do) Aby znaleźć procent osób, które spożywają przynajmniej jeden z produktów, wystarczy zsumować wszystkie wartości na wykresie. Więc mamy:
3 + 18 + 2 + 17 + 2 + 3 + 11 = 56%
A zatem, 56% respondentów spożywa przynajmniej jeden z produktów.
pytanie 7
(Enem/2004) Producent kosmetyków postanawia stworzyć trzy różne katalogi swoich produktów, skierowane do różnych odbiorców. Ponieważ niektóre produkty będą obecne w więcej niż jednym katalogu i zajmą całą stronę, postanawia dokonać liczenia, aby zmniejszyć wydatki na drukowane oryginały. Katalogi C1, C2 i C3 będą miały odpowiednio 50, 45 i 40 stron. Porównując projekty z każdego katalogu, stwierdza, że C1 i C2 będą miały wspólne 10 stron; C1 i C3 będą miały wspólne 6 stron; C2 i C3 będą miały 5 wspólnych stron, z czego 4 będą również na C1. Dokonując odpowiednich obliczeń, producent stwierdził, że do złożenia trzech katalogów będzie potrzebować łącznie drukowanych oryginałów równych:
a) 135
b) 126
c) 118
d) 114
e) 110
Prawidłowa alternatywa: c) 118
Możemy rozwiązać to pytanie, konstruując diagram. W tym celu zacznijmy od stron, które są wspólne dla trzech katalogów, czyli od 4 stron.
Stamtąd wskażemy wartości, odejmując te, które zostały już rozliczone. Tak więc schemat będzie wyglądał tak, jak wskazano poniżej:
Wartości zostały znalezione poprzez wykonanie następujących obliczeń:
- Skrzyżowanie C1, C2 i C3: 4
- Przecięcie C2, C3: 5 - 4 = 1
- Skrzyżowanie C1 i C3: 6 - 4 = 2
- Skrzyżowanie C1 i C2: 10 - 4 = 6
- Tylko C1: 50 - 12 = 38
- Tylko C2: 45 - 11 = 34
- Tylko C3: 40 - 7 = 33
Aby znaleźć liczbę stron wystarczy dodać wszystkie te wartości, tj.:
4 + 1 + 2 + 6 + 38 +34 + 33 = 118
pytanie 8
(Enem/2017) W tym modelu termometru filety rejestrują minimalną i maksymalną temperaturę z poprzedniego dnia a szare filety rejestrują aktualną temperaturę otoczenia, czyli w momencie odczytu termometr.
Więc ma dwie kolumny. Po lewej stronie liczby są w porządku rosnącym, od góry do dołu, od -30 °C do 50 °C. W kolumnie po prawej numery są uporządkowane rosnąco, od dołu do góry, od -30°C do 50°C.
Czytanie odbywa się w następujący sposób:
- minimalna temperatura jest wskazywana przez dolny poziom czarnego fileta w lewej kolumnie.
- maksymalna temperatura jest wskazywana przez dolny poziom czarnego fileta w prawej kolumnie.
- aktualna temperatura jest wskazywana przez górny poziom szarych zaokrągleń w dwóch kolumnach.
Jaka jest najbliższa maksymalna temperatura zarejestrowana na tym termometrze?
a) 5°C
b) 7°C
c) 13°C
d) 15°C
e) 19°C
Prawidłowa alternatywa: e) 19°C
Aby rozwiązać ten problem, po prostu odczytaj skalę w prawej kolumnie czarnego fileta, która reprezentuje rekord temperatury maksymalnej.
pytanie 9
(Enem /2017) Wynik sondażu wyborczego na temat preferencji wyborców w stosunku do dwóch kandydatów przedstawiono za pomocą wykresu 1.
Kiedy ten wynik został opublikowany w gazecie, wykres 1 został wycięty podczas układu, jak pokazano na wykresie 2.
Mimo, że prezentowane wartości są poprawne, a szerokość kolumn jest taka sama, wielu czytelników skrytykował format wykresu 2 wydrukowany w gazecie, twierdząc, że kandydat był wizualnie uszkodzony B. Różnica między stosunkami wysokości kolumny B do kolumny A na wykresach 1 i 2 wynosi:
a) 0
b) 1/2
c) 1/5
d) 2/15
e) 8/35
Prawidłowa alternatywa: e) 8/35
Aby rozwiązać ten problem, najpierw musimy znaleźć stosunek wysokości kolumny B do kolumny A na dwóch wykresach. Stosunki te można znaleźć, licząc, ile działów znajduje się w każdej kolumnie.
Zauważ, że na wykresie 1 kolumna A jest podzielona na 7 równych „części”, a kolumna B na 3. Na wykresie 2 kolumna A jest podzielona na 5 równych „części”, a kolumna B tylko na 1.
Dlatego ułamki reprezentujące stosunki wysokości kolumny B do kolumny A mogą być oznaczone przez
Teraz po prostu rozwiąż odejmowanie między tymi dwoma ułamkami, więc mamy:
pytanie 10
(Enem/2018) Aby stworzyć logo, profesjonalista z dziedziny projektowania graficznego chce je zbudować za pomocą zestawu płaskich punktów w kształcie trójkąta, dokładnie tak, jak pokazano na obrazku.
Aby zbudować taki obraz za pomocą narzędzia graficznego, konieczne będzie napisanie algebraicznie zbioru reprezentującego punkty tej grafiki.
Ten zbiór jest określony przez uporządkowane pary (x; y) ℕ x ℕ, taki, że
a) 0 ≤. x ≤ y ≤ 10
b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
c) 0 ≤ x ≤ 10, 0 ≤ y ≤ 10
d) 0 ≤ x + y ≤ 10
e) 0 ≤ x + y ≤ 20
Prawidłowa alternatywa: b) 0 ≤ y ≤ x ≤ 10
Zauważ, że liczba wyrażona w pytaniu, zarówno na osi y, jak i x, zawiera liczby naturalne (ℕ x ℕ) od 0 do 10. Musimy: 0 ≤ y ≤ 10 i 0 ≤ x ≤ 10.
Zatem: y = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10) i x = (0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10 ). Przedstawiona postać jest jednak trójkątem. Aby spełnić ten warunek, w uporządkowanych parach y nie może być większe niż x.
Zauważ, że wartości y są ograniczone przez równość z wartościami x, tworząc przeciwprostokątną tego trójkąta prostokątnego: (0,0), (1;1), (2;2), (3;3 ), (4; 4), (5;5)...(10;10).
Dlatego musimy: y ≤ x.
Wkrótce, 0 ≤ y ≤ x ≤ 10.
Aby dowiedzieć się więcej, czytaj też:
- Zbiory numeryczne
- liczby rzeczywiste
- Liczby całkowite
- Liczby wymierne
- liczby niewymierne
- Liczby naturalne
- Liczby zespolone
- Ćwiczenia na setach
- Ćwiczenia na liczbach zespolonych
