O największy wspólny dzielnik, lepiej znany jakoMDC, to największa liczba, która podzielić dwie lub więcej liczb. Znalezienie MDC pomaga rozwiązać niektóre problemy w naszym codziennym życiu. Aby ją obliczyć możemy napisać listę dzielników każdej z liczb i porównać lub użyć metoda rozkładu tych liczb na czynniki pierwsze, znana również jako dekompozycja symultaniczna.
Przeczytaj też: Mnożenie i dzielenie liczb ujemnych
Jak obliczyć MDC?
Jak sama nazwa wskazuje, największym wspólnym dzielnikiem między dwiema lub większą liczbą liczb jest największy dzielnik, który jednocześnie dzieli te liczby. Aby obliczyć MDC, dość często używa się faktoryzacja, co ułatwia proces, ale możemy po prostu porównać dzielniki zaangażowanych liczb.
Metoda porównawcza
Przykład
Znajdź MDC 18 i 12.
Dla porównania wypiszmy 18 dzielników i 12 dzielników.
D(18) = {1,2,3,6,9,18}
D(12)= {1,2,3,4,6,12}
Istnieje kilka wspólnych dzielników, którymi są liczby {1,2,3,6}. MDC jest największym.
ŚPD (12,18) = 6
Okazuje się, że zapisanie dzielników liczb może być bardzo pracochłonnym zadaniem, więc alternatywą jest zastosowanie rozkładu na czynniki.
kuzyni.Przykład
Znajdź MDC między 45 a 36.
I krok: rozłożyć każdą z liczb.
Drugi krok: znając faktoryzacje, znajdźmy każdy ze wspólnych czynników tych liczb.
36 = 2 · 2 · 3 · 3
45 = 3 · 3 · 5
Trzeci krok: określić MDC, który jest iloczynem (mnożeniem) wspólnych czynników.
ŚPD (36, 45) = 3 · 3
ŚPD (36, 45) = 9
Oznacza to, że największa liczba będąca jednocześnie dzielnikiem 36 i 45 to 9.
równoczesny rozkład
O najszybszy sposób na znalezienie MDC między dwiema liczbami jest równoczesny rozkład, znany również jako faktoring symultaniczny. W przeciwieństwie do tego, co zrobiliśmy w poprzedniej dekompozycji, rozłożymy liczby, dla których chcemy jednocześnie obliczyć MDC.
Przykład
Oblicz MDC (48, 84).
I krok: wykonaj dekompozycję obu liczb i znajdź czynniki, które dzielą je jednocześnie.
Drugi krok: wykonać mnożenie między wspólnymi czynnikami.
MDC (48,84) = 2 · 2 · 3 = 12
Zobacz też: Faktoring symultaniczny w celu znalezienia MDC i MMC
Właściwości MDC
Przy obliczaniu MDC zdarzają się przypadki, w których nie ma potrzeby przeprowadzania dekompozycji, ponieważ jeśli znamy tę właściwość, wiemy już, czym jest MDC.
→ 1. nieruchomość
MDC między dwiema kolejnymi liczbami jest zawsze równe 1.
Przykład
ŚPD (102, 103) = 1
Kiedy tak się dzieje, mówimy, że liczby są względem siebie pierwsze, ponieważ nie mają ze sobą żadnych wspólnych czynników.
→ 2. nieruchomość
Gdy mamy dwie lub więcej liczb i jedna z nich jest dzielnikiem pozostałych, to będzie to MDC.
Przykład
ŚPD (4.12.16 )
Wiemy, że 4 jest dzielnikiem 12 i 16, więc:
ŚPD(4,12,16) = 4
Różnica między MDC a MMC
Oba są równie ważne, ale reprezentują różne rzeczy. Jak widzieliśmy, największym wspólnym dzielnikiem jest największa liczba, która jednocześnie dzieli dwie lub więcej liczb. MMC to najmniejsza wspólna wielokrotność, to jest mniejsza liczba, która jest wielokrotność równocześnie liczb, które chcemy obliczyć.
Podsumowując, w MDC współpracujemy z wspólne dzielniki i chcemy znaleźć większy ich. W MMC współpracujemy z wspólne wielokrotności i chcemy znaleźć mniejszy ich.
Przykład
Biorąc pod uwagę liczby 16 i 12, znajdź MDC między nimi.
Rozkład:
Wymieńmy 16 dzielników i 12 dzielników.
D(16) = 1,2,4,8,16
D(12) = 1,2,3,4,6,12
Teraz znajdźmy największą liczbę, która dzieli oba jednocześnie:
ŚPD (16,12) = 4
Oznacza to, że 4 jest największą liczbą dzielącą jednocześnie 16 i 12.
Przykład 2
Biorąc pod uwagę liczby 16 i 12, znajdź wśród nich MMC.
Rozkład:
Wypiszmy wielokrotności 16 i 12, dopóki nie znajdziemy takiej, która jest wspólna dla obu.
M(12) = {0, 12, 24, 36, 48...}
M(16) = {0, 16, 32, 48 …}
MMC (12,16) = 48
Oznacza to, że 48 jest najmniejszą liczbą będącą jednocześnie wielokrotnością 12 i 16.
Ćwiczeniazdecydowany
Pytanie 1 - Jaki jest MDC wśród liczb (15,16,17)?
a) 10
b) 5
c) 2
d) 1
e) 15
Rozkład
Alternatywa D. Ponieważ pracujemy z trzema kolejnymi liczbami, wiemy, że MDC między nimi jest zawsze równe 1.
Pytanie 2 - W grze dla dwóch lub więcej osób jest 36 pionów trójkątnych i 60 pionów kwadratowych. Wiedząc, że aby zagrać w tę grę, pionki muszą być równomiernie rozłożone i nie można ich zostawić, jaka jest maksymalna liczba możliwych uczestników gry?
a) 12
b) 9
c) 8
d) 6
e 4
Rozkład
Alternatywa A.
Chcemy znaleźć MDC między 36 a 60.
Faktoring 36 i 60 musimy:
36 = 2 · 2 · 3 · 3
60 = 2 · 2 · 3 · 5
MDC (36,60) 2 · 2 · 3 = 12
