Ćwiczenia na PA i PG

Ucz się postępów arytmetycznych i geometrycznych krok po kroku dzięki rozwiązanym i skomentowanym ćwiczeniom.

Ćwiczenie 1

W AP a2 = 5 i a7 = 15. Znajdź a4 i dodaj pierwsze pięć warunków tego AP.

Zobacz odpowiedź

Prawidłowa odpowiedź: a4 = 9 i S = 35.

Rezolucja

Krok 1: ustal przyczynę i a4.
Aby opuścić a2 i dotrzeć do a7, dodajemy 5r, ponieważ jest to „odległość” między 7 a 2.

a z indeksem 7 równa się a z indeksem 2 plus 5 r 15 spacja równa się spacja 5 spacja plus spacja 5 r 15 spacja minus spacja 5 spacja równa się 5 r 10 spacja równa się spacja 5 r 10 przez 5 równa się r 2 równa się r

Termin a4 to termin a2 plus 2r, ponieważ aby przejść z a2 do a4, „przesuwamy się” o 2r. Już wkrótce,

a z 4 indeksem to a z 2 indeksem plus 2 r a z 4 indeksem to 5 spacja plus spacja 2.2 a z 4 indeksem to 5 spacja plus spacja 4 spacja równa się spacja 9

Dlatego czwarta kadencja AP to 9.

Drugi krok: określ sumę pierwszych pięciu warunków tego AP.

Suma warunków AP jest wyrażona wzorem:

S równa się licznikowi lewemu nawiasowi a z 1 indeksem dolnym plus a z n prawym nawiasem w indeksie dolnym. n nad mianownikiem 2 koniec ułamka

a1 = a2 - r (bo cofamy się o jedną pozycję w PA, zaczynając od a2)
a1 = 5 - 2 = 3

a5 = a7 - 2r (ponieważ cofamy się o dwie pozycje w PA, zaczynając od a7).
a5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11

S równa się licznik left parenthesis 3 spacja plus spacja 11 right parenthesis.5 nad mianownikiem 2 koniec ułamka równa się licznik 14 spacja. spacja 5 nad mianownikiem 2 koniec ułamka równa się 70 nad 2 równa się 35

Ćwiczenie 2

(Aeronautics 2021) Pewien profesor napisał 8-okresową rosnącą progresję arytmetyczną zaczynającą się od cyfry 3 i składającą się wyłącznie z liczb naturalnych. Zauważył wtedy, że drugi, czwarty i ósmy wyraz tego ciągu arytmetycznego tworzą w tej kolejności ciąg geometryczny. Profesor zauważył również, że suma wyrazów tego postępu geometrycznego była równa

instagram story viewer

a) 42
b) 36
c) 18
d) 9

Zobacz odpowiedź

Odpowiedź: a) 42

Według AP, terminy tworzące PG to a2, a4 i a8:

a z 2 indeksem dolnym równa się a z 1 indeksem dolnym plus lewy nawias n minus 1 prawy nawias r a z 2 indeks dolny równa się 3 plus lewy nawias 2 odjąć 1 prawy nawias r a z 2 indeks dolny równa się 3 plus r spacja

a z 4 indeksem to a z 1 indeksem plus lewy nawias 4 minus 1 prawy nawias r a z 4 indeksem to 3 spacja plus spacja 3 r

a z 8 indeksem to 3 plus lewy nawias 8 minus 1 prawy nawias r a z 8 indeksem to 3 plus 7 r

Suma trzech warunków to:

S równa się a z 2 indeksem dolnym plus a z 4 indeksem dolnym plus a z 8 indeksem dolnym S równa się left parenthesis 3 plus r right parenthesis spacja plus spacja left parenthesis 3 plus 3 r parenthesis prawa spacja plus spacja left parenthesis 3 plus 7 r right parenthesis S równa się 9 spacja plus spacja 11 r spacja spacja lewy nawias i nawias spacja I nawias prawidłowy

Do wyznaczenia r posługujemy się średnią geometryczną:

a z indeksem dolnym 4 równa się pierwiastkowi kwadratowemu z indeksu a z indeksem dolnym 2. a z 8 indeksem dolnym na końcu pierwiastka 3 plus 3 r równa się pierwiastkowi kwadratowemu z lewego nawiasu 3 plus r prawy nawias. lewy nawias 3 plus 7 r prawy nawias główny koniec

Wyrównywanie obu stron

left parenthesis 3 plus 3 r right parenthesis do kwadratu równa się left parenthesis 3 plus r right parenthesis. lewy nawias 3 plus 7 r prawy nawias

Podniesienie do kwadratu pierwszego terminu i rozdzielenie drugiego terminu:

left parenthesis 3 plus 3 r right parenthesis do kwadratu równa się left parenthesis 3 plus r right parenthesis. left parenthesis 3 plus 7 r right parenthesis 9 spacja plus spacja 18 r spacja plus spacja 9 r do kwadratu równa się 9 spacja plus spacja 21 r spacja plus spacja 3 r spacja plus spacja 7 r do kwadratu 9 r do kwadratu minus 7 r do kwadratu równa się 24 r spacja minus miejsce 18 r spacja plus przestrzeń 9 spacja minus miejsce 9 2 r kwadrat równa się 6 r r kwadrat równa się 3 r a. r spacja równa się spacji 3 r r spacja równa się licznik 3 r nad mianownikiem r koniec ułamka równa się 3

Podstawiając r do równania I, otrzymujemy:

S przestrzeń równa się przestrzeni 9 spacja plus przestrzeń 11 r S przestrzeń równa się przestrzeni 9 spacja plus przestrzeń 11.3 S przestrzeń równa się przestrzeni 9 spacja plus przestrzeń 33 S przestrzeń równa się przestrzeni 42

Dlatego suma pierwszych trzech wyrazów jest równa 42.

Ćwiczenie 3

(PM-SP 2019) W 2015 roku duża firma naftowa rozpoczęła proces ponownego wykorzystywania wody używanej do chłodzenia części, które opracował i sporządził prognozę stopniowego wzrostu, w postępie arytmetycznym, do roku 2050, ilości wody, która będzie ponownie wykorzystywana z roku na rok rok.

Tabela pokazuje ilości wody ponownie wykorzystanej w ciągu pierwszych 3 lat:

Niech An będzie ogólnym terminem postępu arytmetycznego, który wskazuje objętość ponownie użytej wody, w milionach m³, przy n = 1, reprezentująca objętość wody ponownie wykorzystanej w roku 2016, n = 2, reprezentująca objętość wody ponownie wykorzystanej w roku 2017 itd. sukcesywnie.

W tych warunkach trzeba…

a) An = 0,5n – 23,5.
b) An = 23,5 + 0,5n.
c) An = 0,5n + 23.
d) An = 23 – 0,5n.
e) An = 0,5n - 23.

Zobacz odpowiedź

Prawidłowa odpowiedź: c) An = 0,5n + 23.

cel
Wyznacz An jako funkcję n.

Rezolucja
Stosunek postępu arytmetycznego wynosi 0,5, ponieważ 24 - 23,5 = 0,5.

a1 = 23,5

Ogólny termin AP określany jest przez:

A z n indeksem dolnym równa się spacji a z 1 spacją indeksu dolnego plus spacją lewy nawias n minus 1 prawy nawias r

Zastępując wartości:

A z n indeksem to 23 przecinek 5 spacja plus spacja 0 przecinek 5 n spacja minus spacja 0 przecinek 5 A z n indeksem to 0 przecinek 5 n plus 23 spacja

Ćwiczenie 4

(CEDERJ 2021) Ciąg (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) jest ciągiem arytmetycznym stosunku 6. Czwarty termin tej progresji to

a) 31.
b) 33.
c) 35.
d) 37.

Zobacz odpowiedź

Prawidłowa odpowiedź: a) 31

Rezolucja
r spacja równa się spacji a z 2 indeksem dolnym minus a z 1 indeksem dolnym 6 spacja równa się spacji 3 x plus 4 spacja minus nawiasy po lewej 2x dodać 3 nawias po prawej 6 równa się 3x dodać 4 odjąć 2x odjąć 3 6 równa się x dodać 1x równa się 6 odjąć 1x równa się 5

Czwarty wyraz to a3 + r, tak:

a z 4 indeksem to a z 3 indeksem plus r a z 4 indeksem to 4 x spacja plus spacja 5 spacja plus spacja r

Podstawiając znalezione wartości:

a z 4 indeksem to 4,5 spacja plus spacja 5 spacja plus spacja 6 a z 4 indeksem to 20 plus spacja 5 spacja plus spacja 6 a z 4 indeksem to 31

Ćwiczenie 5

(Enem 2021) W Brazylii czas potrzebny studentowi na ukończenie szkolenia do ukończenia studiów wyższych, biorąc pod uwagę 9 lat szkoły podstawowej, 3 lata liceum i 4 lata maturalne (średni czas), jest to 16 lat lat. Jednak rzeczywistość Brazylijczyków pokazuje, że średni czas nauki osób powyżej 14 roku życia jest wciąż bardzo mały, co pokazuje tabela.
Tabela związana z rozwiązaniem pytania.

Weź pod uwagę, że wzrost czasu nauki w każdym okresie dla tych osób pozostaje stały aż do roku do 2050 r. i ma osiągnąć 70% czasu wymaganego do uzyskania danego wyższego kursu poprzednio.
Rok, w którym średni czas nauki osób powyżej 14 roku życia osiągnie pożądany odsetek, będzie

a) 2018.
b) 2023.
c) 2031.
d) 2035.
e) 2043.

Zobacz odpowiedź

Prawidłowa odpowiedź: d) 2035.

I część: określ 70% z 16.

70 procent znaku spacja 16 spacja równa się spacja 70 nad 100 znak mnożenia 16 równa się 1120 nad 100 równa się 11 punkt 2

Część II: określ, po ilu okresach zostanie ukończonych 11,2 lat studiów.

Sekwencja czasu badania to postęp arytmetyczny (AP) ze stosunkiem 0,6.

r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6

a1 = 5,2

Kwota 11,2 lat zostanie osiągnięta w:

A z n indeksem równym a z 1 indeksem dolnym plus spacja left parenthesis n minus 1 right parenthesis r 11 comma 2 równa się 5 comma 2 plus left parenthesis n minus 1 prawy nawias 0 przecinek 6 11 przecinek 2 równa się 5 przecinek 2 plus 0 przecinek 6 n minus 0 przecinek 6 11 przecinek 2 minus 5 przecinek 2 plus 0 przecinek 6 równa się 0 przecinek 6 n 6 plus 0 przecinek 6 równa się 0 przecinek 6 n 6 przecinek 6 równa się 0 przecinek 6 n licznik 6 przecinek 6 nad mianownikiem 0 przecinek 6 koniec ułamka równa się n 11 równy n

Kwota 11,2 zostanie osiągnięta w XI kadencji UP.

III część: określ, która jest 11. kadencją PA lat.

Stosunek wynosi a2 – a1 = 1999 – 1995 = 4 lata

A z 11 indeksem to a z 1 indeksem plus lewy nawias n minus 1 prawy nawias r A z 11 indeksem to 1995 plus lewy nawias 11 minus 1 prawy nawias 4 A z 11 indeksem to 1995 plus 10,4 A z 11 indeksem to 1995 spacja plus spacja 40 A z 11 indeksem to 2035

Wniosek
70% z 16 lat wymaganych do ukończenia studiów licencjackich zostanie osiągniętych w 2035 roku.

Ćwiczenie 6

(Straż Pożarna 2021) Samolot i wóz strażacki mają zbiorniki wodne o pojemności odpowiednio 12 000 i 8 000 litrów wody. Ciężarówka ma pompę 2,5 GPM, co oznacza, że jest w stanie przepompować 2,5 galonów na minutę.

Na podstawie tej hipotetycznej sytuacji osądź następującą pozycję, biorąc pod uwagę, że 1 galon to 3,8 litra wody.

Jeżeli zbiornik na wodę ma pojemność X tysięcy litrów, a więc 8, X i 12 są w postępie geometrycznym, to w tej kolejności, to pojemność tego zbiornika jest mniejsza niż 10 tysięcy litrów.

Prawidłowy

Zło

Zobacz odpowiedź

Prawidłowa odpowiedź: dobrze

cel
Sprawdź, czy X < 10.

Rezolucja
W postępie geometrycznym, PG, termin środkowy to średnia geometryczna między ekstremami.

X mniej niż pierwiastek kwadratowy z 8.12 koniec pierwiastka X przestrzeń mniej niż pierwiastek kwadratowy z 96

W rzeczywistości przybliżony pierwiastek kwadratowy z 96 to 9,79. Dochodzimy do wniosku, że pojemność X zbiornika to mniej niż 10 tysięcy litrów.

Ćwiczenie 7

(Aeronautyka 2021) Bądź P.G. (24, 36, 54, ...). Dodając piąty i szósty termin niniejszego G.P. tam było

a) 81/2
b) 405/2
c) 1215/4
d) 1435/4

Zobacz odpowiedź

Prawidłowa odpowiedź: c) 1215/4

cel
Dodaj a5 + a6

Rezolucja

Krok 1: Określ stosunek q.

Powodem PG jest:

q równa się a z 2 indeksem dolnym nad a z 1 indeksem dolnym równym 36 nad 24 równa się 3 nad 2

Krok 2: Określ a5

a4 = a3. Q
a5 = a4. Q

Zamiana a4 na a5:

a z odstępem 5 w indeksie dolnym równa się odstępowi a z odstępem 3 w indeksie dolnym. spacja q spacja. spacja q spacja równa się spacji a z 3 spacją indeksów dolnych. przestrzeń q do kwadratu

Krok 3: Określ a6

a6 = a5. Q

Zastępując a5 na a6:

a z 6 indeksem dolnym równa się a z 5 odstępem indeksu dolnego. spacja q spacja równa się spacji a z 3 spacją indeksów dolnych. spacja q spacja do kwadratu. spacja q spacja równa się spacji a z 3 spacją indeksów dolnych. spacja q sześcian

Krok 4: Dodaj a5 + a6 zastępując wartości liczbowe.

a z indeksem dolnym 5 plus a z indeksem dolnym 6 równa się a z indeksem dolnym 3. q spacja do kwadratu plus spacja a z 3 indeksem dolnym. q do sześcianu a z indeksem dolnym 5 plus a z indeksem dolnym 6 daje 54 spację. spacja otwiera nawias 3 nad 2 zamyka nawias do kwadratu plus spacja 54 spacja. spacja otwiera nawiasy 3 nad 2 zamyka nawiasy do sześcianu a z 5 indeksem dolnym plus a z 6 indeksem dolnym równa się 54 spacja. spacja 9 nad 4 spacją plus spacja 54 spacja. przestrzeń 27 nad 8

Umieszczenie 54 w dowodach:

a z indeksem dolnym 5 plus a z indeksem dolnym 6 równa się 54 spacja otwiera nawiasy 9 nad 4 spacją plus spację 27 ponad 8 zamyka nawiasy a z 5 indeksem dolnym plus a z 6 indeksem równa się 54 otwiera nawiasy licznik 9 przestrzeń. spacja 8 nad mianownikiem 4 spacja. spacja 8 koniec ułamka plus spacja licznik 27 spacja. spacja 4 nad mianownikiem 4 spacja. spacja 8 koniec ułamka zamyka nawiasy a z 5 indeksem dolnym plus a z 6 indeksem równa się 54 otwiera nawiasy 72 ponad 32 plus 108 ponad 32 zamyka nawiasy a z 5 indeksem dolnym plus a z 6 indeksem dolnym równa się 54 otwiera nawiasy 180 ponad 32 zamyka nawiasy a z 5 indeksem dolnym plus a z 6 indeksem dolnym równa się 54 przestrzeń. spacja 180 nad 32 równa się 9720 nad 32 równa się 1215 nad 4

Ćwiczenie 8

(UERJ 2019) Trójkąty A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, pokazane poniżej, mają odpowiednio obwody p1, p2, p3. Wierzchołki tych trójkątów, począwszy od drugiego, są środkami boków poprzedniego trójkąta.

Obraz powiązany z rozwiązaniem problemu.

przyznaj, że stos A z 1 indeksem dolnym B z 1 indeksem dolnym z ukośnikiem nad stosem B z 1 indeksem dolnym C z 1 indeksem dolnym z ukośnikiem powyżej równa się 7 spacja a stos spacji A z 1 indeksem dolnym C z 1 indeksem dolnym z ukośnikiem powyżej równa się 4 .

Zatem (p1, p2, p3) definiuje następującą progresję:

a) arytmetyka współczynników = – 8
b) arytmetyka współczynników = – 6
c) stosunek geometryczny = 1/2
d) stosunek geometryczny = 1/4

Zobacz odpowiedź

Prawidłowa odpowiedź: c) stosunek geometryczny = 1/2

Rezolucja

Krok 1: zdefiniuj obwody p1, p2 i p3.

p z 1 indeksem dolnym równa się stosowi spacji A z 1 indeksem dolnym B z 1 indeksem dolnym z ukośnikiem powyżej plus spacja stosu B z 1 indeksem dolnym C z 1 indeksem dolnym z ukośnikiem powyżej plus stos A z 1 indeksem dolnym C z 1 indeksem dolnym z ukośnikiem powyżej p z 1 indeksem dolnym równa się 7 spacja plus spacja 7 spacja plus spacja 4 p z 1 indeksem dolnym równa się 18

Przez równoległość weryfikujemy, czy boki trójkąta wewnętrznego są połową trójkąta bezpośrednio zewnętrznego.

Na przykład B2A2 = A1C2

Zatem p2 jest połową p1, tak jak p3 jest połową p2. Mamy:

p z 2 indeksem dolnym równa się p z 1 indeksem dolnym dzielonym przez 2 równa się 9 i p z 3 indeksem dolnym równa się p z 2 indeksem dolnym dzielonym przez 2 równa się 9 spacja dzielona przez 2 równa się 4 przecinek 5

Krok 2: Złóż progresję i sklasyfikuj ją.

p z 1 przecinkiem w indeksie dolnym spacja p z 2 przecinkiem w indeksie dolnym spacja p z 3 w indeksie dolnym spacja równa się spacja 18 przecinek spacja 9 przecinek spacja 4 przecinek 5

Okazuje się, że aby wyznaczyć p2, 18 mnoży się przez 1/2.

18-miejscowy znak mnożenia spacja 1 połowa równa się 9

Również 9 pomnożone przez 1/2 daje 4,5.

9 spacja znak mnożenia spacja 1 połowa równa się 9 nad 2 równa się 4 przecinek 5

Wniosek
Weryfikujemy, że progresja jest geometryczna, ze stosunkiem 1/2.

Ćwiczenie 9

(Enem 2021) Wykres informuje o produkcji zarejestrowanej przez branżę w miesiącach styczeń, marzec i kwiecień.

Ze względu na problemy logistyczne nie przeprowadzono przeglądu produkcji za miesiąc luty. Jednak informacje z pozostałych trzech miesięcy sugerują, że produkcja w tym czteromiesięcznym okresie wzrosła wykładniczo, co pokazuje krzywa trendu na wykresie.

Zakładając, że wzrost w tym okresie był wykładniczy, można wnioskować, że produkcja tego przemysłu w miesiącu lutym, w tysiącach sztuk, była

a) 0.
b) 120.
c) 240.
d) 300.
e) 400.

Zobacz odpowiedź

Prawidłowa odpowiedź: c) 240.

Rezolucja

Ogólny wyraz PG to wykładniczy a jako funkcja n, gdzie a1 i q są liczbami stałymi.