Kąt między dwoma wektorami

W matematyce lub fizyce wektory oni są proste segmenty z kierunkiem, kierunkiem i długością, które są używane do reprezentowania wielkości takich jak siła, prędkość i przyspieszenie.

Wektory wskazują trajektorie i można je zdefiniować za pomocą układu współrzędnych (x, y). Biorąc pod uwagę punkt (0,0) jako początek odcinka, poniższy rysunek przedstawia wektor $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}}$ czyj koniec jest sednem $\dpi{120} \boldsymbol{ $x_1, y_1$}$ .

Notacja: $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $x_1, y_1$}$ .

wyświęceni $\dpi{120} \boldsymbol{x_1}$ nazywana jest składową poziomą i odciętą $\dpi{120} \boldsymbol{y_1}$ , składowej pionowej.

Rozważmy teraz, oprócz wektora $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $x_1, y_1$}$ , inny wektor $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{v}= $x_2, y_2$}$ i kąt utworzony między nimi, jak pokazano na poniższym rysunku.

Ten kąt między wektorami można obliczyć za pomocą wzoru, który obejmuje iloczyn skalarny między wektorami i normą (długością) każdego wektora.

Kąt między dwoma wektorami

Dwie kości wektorowe $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $x_1, y_1$}$ i $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{v}= $x_2, y_2$}$ , cosinus kąta $\dpi{120} \boldsymbol{\theta}$ wśród nich odnosi się do produktu wewnętrznego między wektorami i ich wzorcami w następujący sposób:

$\dpi{120} \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{\left \langle \vec{u}, \vec{v} \right \rangle}{\|\vec{u} \|.\| \vec{v} \| }}$

Licznikiem ułamka jest iloczyn skalarny między wektorami, wyrażony wzorem:

$\dpi{120} \boldsymbol{\left \lange \vec{u}, \vec{v} \, \right \rangle = x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2}$

A mianownik to iloczyn pomiędzy standardami każdego z wektorów, jak następuje:

instagram story viewer

Sprawdź darmowe kursy

Bezpłatny kurs edukacji włączającej online
Bezpłatna biblioteka zabawek online i kurs edukacyjny
Darmowy kurs gier matematycznych online w edukacji wczesnoszkolnej
Bezpłatny internetowy kurs pedagogicznych warsztatów kulturalnych

$\dpi{120} \boldsymbol{\|\vec{u}\|= \sqrt{(x_1)^2+ (y_1)^2}}$

$\dpi{120} \boldsymbol{\|\vec{v}\|= \sqrt{(x_2)^2+ (y_2)^2}}$

Dokonując wymiany, sprawdziliśmy, że wzór na kąt między dwoma wektorami é:

$\dpi{120} \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2}{\sqrt{(x_1)^2+(y_1)^2} \cdot \sqrt{(x_2 ) )^2+(y_2)^2}}}$

Przykład:

Oblicz kąt między wektorami $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $2,4$}$ i $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{v}= $5,3$}$ .

Stosując wartości we wzorze, musimy:

$\dpi{120} \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{2\cdot 5+4\cdot 3}{\sqrt{(2)^2+(4)^2} \cdot \sqrt{(5 )^2+(3)^2}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{10+12}{\sqrt{4+16} \cdot \sqrt{25+9}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{22}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{34}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{\theta = cos^{-1}\left (\frac{22}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{34}} \right ) }$

Korzystanie z kalkulatora lub tabela trygonometryczna, widzimy to:

$\dpi{120} \boldsymbol{ \theta = 32,47^{\circ}}$

Możesz być również zainteresowany:

Łuki z więcej niż jednym obrotem
Łuki i ruch kołowy
koło trygonometryczne
prędkość pojazdu

Hasło zostało wysłane na Twój e-mail.

Kąt między dwoma wektorami

Kąt między dwoma wektorami

Okrągły obszar korony

Ćwiczenia na warunku trzypunktowego wyrównania

Funkcja pierwszego stopnia lub podobne: Co to jest, przykład graficzny, krok po kroku