TEN Elipsa to płaska figura sklasyfikowana jako stożkowy, ponieważ ona można uzyskać z sekcji planu w stożku. Znalezienie płaskiej sylwetki o kształcie elipsy jest dość powszechne w życiu codziennym. Zostało szeroko zbadane, aby wyjaśnić ruch planet wokół Słońca, ponieważ orbity tych gwiazd są elipsami.
TEN Geometria analityczna to dziedzina matematyki, która stara się opisać algebraicznie geometryczne kształty, w tym, elipsa jest dogłębnie badana w geometrii analitycznej, dając możliwość opisania go za pomocą równania uwzględniającego jego elementy. Główne elementy elipsy to:
oś główna
oś mała
ogniskowa
ogniska F1 i F2
Elipsę definiujemy jako zbiór punktów, w których suma odległości tych punktów od ogniska F1 i skupić F2 jest zawsze stały.
Przeczytaj też: Jakie są różnice między figurami płaskimi a przestrzennymi?
Czym jest elipsa?
Znamy jako elipsę płaska figura utworzona przez odcinek między płaszczyzną a stożek, w następujący sposób:
Aby zbudować elipsę, trzeba muszę znać twoje
dwa skupienia, F1 i F2, a także długość głównej osi, która jest linią łączącą końce elipsy, na poniższym obrazku, reprezentowaną przez A1 TEN2.Długość głównej osi jest równa 2a, więc elipsa jest krzywą utworzoną przez wszystkie punkty PNie gdzie suma odległości od punktu do pierwszego ogniska (dPNiefa1) z odległością od punktu do drugiego ogniska (dPNiefa2) jest zawsze stała i równa 2a.
dP1fa1 + dP1fa2 = dP2fa1 + P2fa2 = dP3fa1 + dP3fa2 = dA1TEN2 = 2.
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Elementy elipsy
Aby w pełni zrozumieć powstawanie elipsy, konieczne jest poznanie każdego z jej elementów. Są to ogniska, środek, oś wielka i oś mała. Na ich podstawie można prześledzić ważne relacje w elipsie.
Środek elipsy reprezentuje punkt O.
Już punkty F1 i F2 reprezentują ogniska elipsy.
punkty A1 i2 są końcami poziomej osi elipsy oraz punktami B1 oraz b2 są końcami jego osi pionowej.
Odległość między B1 oraz b2 równa się 2b (długość elipsy na osi małej).
Odległość między A1 i2 jest równy 2a (długość elipsy na osi głównej).
Ogniskowa między F1 i F2 równa się 2c.
Obserwacja: Ważne jest, aby zdać sobie sprawę, że kontrola F the1b1 ma długość równą połowie osi poziomej, czyli dF1b1 = W ten sposób można również dostrzec ważną zależność pitagorejską przy analizie trójkąta A1OB1. Zauważ, że jest trójkąt prostokątny. Dlatego możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa.
a² = b² + c²
Istnieje inna możliwość elipsy, gdy najdłuższa oś jest osią pionową. W tym przypadku elementy pozostają takie same.
W tym przypadku również możemy zastosować twierdzenie Pitagorasa, otrzymując:
b² = a² + c²
Przeczytaj też: Jakie są elementy wielokąta?
Równanie elipsy
Analityczne badanie elipsy odbywa się w kartezjański samolot. Geometria analityczna stara się opisać za pomocą równań figury geometria płaszczyzny. W ten sposób można opisać figurę za pomocą tzw. równania elipsy.
Najpierw zrobimy przykłady elipsy, której ogniska znajdują się albo na osi x, albo na osi y, to znaczy początek elipsy pokrywa się z początkiem płaszczyzny kartezjańskiej.
W tym przypadku istnieją dwie możliwości, gdy główna oś jest osią pionową i gdy główna oś jest osią poziomą:
Obserwacja: Ogniska są zawsze zawarte w najdłuższej osi, więc jeśli a > b, ogniska są zawarte w osi poziomej, a jeśli b > a, w osi pionowej.
Środek elipsy nie zawsze znajduje się na początku płaszczyzny kartezjańskiej, co nie przeszkadza w opracowaniu i dostosowaniu równania elipsy do tego przypadku. Kiedy elipsa jest odsunięta od początku O( x0, tak0), jego równanie można opisać wzorem:
Przeczytaj też: Jakie jest zredukowane równanie obwodu?
Ekscentryczność elipsy
Znamy jako ekscentrycznośćpowód między długością c a połową długości najdłuższej osi elipsy. Zakładając, że najdłuższa oś jest pozioma, mimośród oblicza się ze wzoru:
Jeżeli elipsa znajduje się na osi pionowej, mimośród zostanie obliczony ze wzoru:
TEN ekscentryczność mówi nam, jak płaska jest elipsa, im większa wartość mimośrodu, tym bliżej okręgu będzie elipsa. Ponieważ oś główna ma zawsze długość większą niż ogniskowa, więc w konsekwencji c < a, więc podział ten jest zawsze liczbą z zakresu od 0 do 1.
obszar elipsy
Ponieważ elipsa ma kształt zaokrąglony, do obliczenia jej powierzchni używamy stałych π i także miara połowy długości poziomej i połowy długości pionowej, więc Musimy:
A = abπ
Odp.: długość elipsy
A: połowa długości osi poziomej
b: połowa długości osi pionowej
Przykład:
Oblicz pole elipsy, z ogniskami na osi poziomej, której najdłuższa oś mierzy 50 cm, a najkrótsza 36 cm.
Ponieważ główna oś jest pozioma, to ogniska są w niej zawarte. Dlatego musimy:
2. = 50
a = 50/2
a = 25
A na osi pionowej musimy:
2b = 36
b = 36/2
b = 18
Tak więc obszar elipsy jest określony przez:
A = abπ
A = 25 · 18π
A = 450πcm²
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - Analizując poniższą elipsę, alternatywą zawierającą jej ogniskową jest:
A) 5
B) 4√3
C) 4
D) 16
E) 8√3
Rozkład
Alternatywa E.
Ogniskowa wynosi 2c, a dodatkowo a = 8 i b = 6. Ponieważ ogniska znajdują się na osi x, musimy:
Ponieważ ogniskowa jest równa 2c, to 2c = 8√3.
Pytanie 2 - (IFB) Rozważając elipsę ze środkiem w początku, ogniskami na jednej z osi współrzędnych i przechodzącymi przez punkty (5, 0) i (0, 13), wyznaczamy ogniska elipsy.
a) (13, 0) i (-13, 0)
b) (0, 13) i (0, -13)
c) (12, 0) i (-12, 0)
d) (0, 12) i (0, -12)
e) (5, 0) i (-5, 0)
Rozkład
Alternatywa D
Zauważ, że przechodzi przez punkt (0, 13), co wskazuje, że b = 13, a także, że przechodzi przez punkt (5.0) a = 5. Ponieważ b > a, musimy:
b² = a² + c²
13² = 5² + c²
169 = 25 + c²
169 - 25 = c²
144 = c²
c = √144
c = 12
Ponieważ b jest większe, to ognisko znajduje się na osi pionowej, czyli (0, 12) i (0, -12).
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki