O Trójkąt Pascala to dość stare narzędzie matematyczne. Na przestrzeni dziejów otrzymał kilka nazw, ale najbardziej przyjęte dzisiaj to: trójkąt arytmetyczny i trójkąt Pascala. Drugie imię to hołd dla matematyka, który wniósł kilka wkładów w badanie tego trójkąta. oznacza, że trójkąt został wymyślony przez niego, ale to on dokładniej to zbadał narzędzie.
Z własności trójkąta Pascala można go logicznie skonstruować. Wyróżnia się również Twoim związek z kombinacje studiował w analizie kombinatorycznej. Terminy trójkąta Pascala również odpowiadają współczynnikom dwumianu, a zatem jest bardzo przydatny do obliczania dowolnego dwumianu Newtona.
Przeczytaj też: Urządzenie Briota-Ruffini - metoda dzielenia wielomianów
Budowa trójkąta Pascala
Trójkąt Pascala powstaje z wyniku kombinacji, istnieje jednak praktyczna metoda, która ułatwia jej budowę. Pierwszy wiersz i pierwsza kolumna są liczone jako zero wiersza i zero kolumny. Możemy użyć tyle linii ile potrzeba as w tej konstrukcji, zatem trójkąt może mieć nieskończone linie. Rozumowanie opracowania linii jest zawsze takie samo. Popatrz:
Wiemy to terminy trójkątne to kombinacje, studiował w analiza kombinatoryczna. Aby zastąpić trójkąt Pascala wartościami liczbowymi, wiemy, że kombinacje liczby z zerem i liczby z samą sobą są zawsze równe 1. Dlatego pierwsza i ostatnia wartość to zawsze 1.
Aby znaleźć inne, zaczynamy od wiersza 2, ponieważ wiersz 0 i wiersz 1 są już kompletne. W wierszu 2, aby znaleźć kombinację 2 do 1, w wierszu powyżej, czyli w wierszu 1, dodajmy termin nad nim w tej samej kolumnie i termin nad nim w poprzedniej kolumnie, jak pokazano na obrazku :
Po zbudowaniu linii 2 możliwe jest zbudowanie linii 3 wykonując tę samą procedurę.
Kontynuując tę procedurę, znajdziemy wszystkie terminy – w tym przypadku do linii 5 – ale możliwe jest zbudowanie tylu linii, ile potrzeba.
Właściwości trójkąta Pascala
Tam jest trochę własności trójkąta Pascala, ze względu na regularność w jego budowie. Te właściwości są przydatne podczas pracy z kombinacjami, konstruowania samych linii trójkątów oraz sumy linii, kolumn i przekątnych.
1. nieruchomość
Pierwszą właściwością była ta, której użyliśmy do zbudowania trójkąta. Więc do znajdź termin w trójkącie Pascala, po prostu dodaj termin znajdujący się w wierszu powyżej i tę samą kolumnę z terminem znajdującym się w kolumnie i wierszu przed nim. Ta właściwość może być reprezentowana w następujący sposób:
Ta właściwość jest znana jako Związek Stifel i ważne jest, aby ułatwić budowę trójkąta i znaleźć wartości każdej z linii.
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
2. nieruchomość
Suma wszystkich terminów z rzędu jest obliczana przez:
sNie=2Nie, na czym? Nie to numer wiersza.
Przykłady:
Dzięki tej właściwości można poznać suma wszystkich warunków w wierszu bez konieczności konstruowania trójkąta Pascala. Na przykład sumę linii 10 można obliczyć przez 210 = 1024. Chociaż nie wszystkie terminy są znane, możliwe jest już poznanie sumarycznej wartości całego wiersza.
3. nieruchomość
Suma terminów, które następują po sobie od początku danej kolumny P do pewnej linii Nie jest taki sam jak termin na linii n+1 plecy i kolumna p+1 później, jak pokazano poniżej:
4. nieruchomość
Suma przekątnej, która zaczyna się w kolumnie 0 i przechodzi do terminu w kolumnie p i wierszu n, jest równa terminowi w tej samej kolumnie (p), ale w wierszu poniżej (n+1), jak pokazano na obrazku :
5. nieruchomość
W liniach trójkąta Pascala jest symetria. Pierwszy i drugi wyraz są sobie równe, drugi i przedostatni wyraz są sobie równe i tak dalej.
Przykład:
Linia 6: 1615 20 156 1.
Zauważ, że terminy są równe dwa do dwóch, z wyjątkiem terminu centralnego.
Zobacz też: Dzielenie wielomianowe: jak to rozwiązać?
Dwumian Newtona
Definiujemy dwumian Newtona a moc jednego wielomian który ma dwa terminy. Obliczenie dwumianu jest powiązane z trójkątem Pascala, który staje się mechanizmem obliczania tego, co nazywamy współczynnikami dwumianowymi. Aby obliczyć dwumian, używamy następującego wzoru:
Zauważ, że wartość wykładnika maleje, aż w ostatnim semestrze wyniesie 0. Wiemy, że każda liczba podniesiona do 0 jest równa 1, więc wyraz nie pojawia się w ostatnim semestrze. Zauważ też, że wykładnik b Zaczyna się z b0, wkrótce b nie pojawia się w pierwszym terminie i wzrasta aż do osiągnięcia bNie, w ostatnim semestrze.
Ponadto liczba, która towarzyszy każdemu z terminów, nazywamy współczynnikiem – w tym przypadku znanym jako współczynnik dwumianowy. Aby lepiej zrozumieć, jak rozwiązać ten typ dwumianu, zapoznaj się z naszym tekstem: Dwumian Newtona.
współczynnik dwumianowy
Współczynnik dwumianowy to nic innego jak kombinacja, którą można obliczyć za pomocą wzoru:
Jednak, aby ułatwić obliczenie dwumianu Newtona, konieczne jest użycie trójkąta Pascala, ponieważ daje nam on szybciej wynik kombinacji.
Przykład:
Aby znaleźć wynik współczynnika dwumianowego, znajdźmy wartości rzędu 5 trójkąta Pascala, które wynoszą {1,5,10,10,5,1}.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3tak2+ 10x2tak3 + 5xy4+1 rok5
Mówiąc prosto:
(x+y)5= x5+5x4y+10x3tak2+ 10x2tak3 + 5xy4+y5
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - Wartość poniższego wyrażenia to?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Rozkład
Alternatywa A.
Przegrupowując wartości dodatnie i ujemne, musimy:
Zauważ, że w rzeczywistości obliczamy odejmowanie między linią 4 i linią 3 trójkąta Pascala. Według właściwości wiemy, że:
s4 = 24 = 16
s3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Pytanie 2 - Jaka jest wartość poniższego wyrażenia?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Rozkład
Alternatywa B.
Zauważ, że dodajemy wyrazy z pierwszej kolumny trójkąta Pascala do wiersza 7, a następnie do trzeciego to właściwość, wartość tej sumy jest równa pojęciu, które zajmuje wiersz 7+1 i kolumnę 1+1, czyli wiersz 8, kolumna 2. Ponieważ chcemy tylko jednej wartości, konstruowanie całego trójkąta Pascala nie jest wygodne.
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
