O najmniejsza wspólna wielokrotność, oznaczony MMC, dwóch lub więcej dodatnich liczb całkowitych to najmniejsza niezerowa liczba, która pojawia się na liście wielokrotności tych dwóch lub więcej liczb jednocześnie.
Istnieje metoda, która ułatwia obliczenie najmniejszej wspólnej wielokrotności liczby i aby z niej skorzystać, należy pamiętać rozkład na czynniki pierwsze prime, formalnie znany jako podstawowe twierdzenie arytmetyki. Twierdzenie takie zapewnia nas, że każdą liczbę złożoną można zapisać jako iloczyn czynników pierwszych.
Przeczytaj też: Czy znasz właściwości mnożenia?
wspólna wielokrotność
Gdy mamy dwie lub więcej dodatnich liczb całkowitych, możliwe jest podanie wielokrotności tych liczb. Kiedy przeprowadzimy tę listę, zauważymy, że istnieje więcej niż jedna wielokrotność, to znaczy wielokrotności pojawiające się w tym samym czasie we wszystkich wykazach tych podanych numerów. Zobacz przykład.
Przykład - Zestawienie 10 pierwszych wielokrotności liczb 2, 8, 10.
M(2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ...}
M (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, ...}
M (10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, ...}
Widzimy więcej niż jedną wspólną wielokrotność liczb. Zauważ, że między M(2) i M (8) mamy wspólne liczby 8, 16, 24...; między M (2) i M (10) mamy liczby 10, 20, 30,...; między M (8) a M (10) mamy liczby 40, 80,... Te numery nazywają się wspólne wielokrotności.
Jak określić MMC?
Aby określić MMC, musimy najpierw podać kilka wielokrotności danych liczb. Pierwsza wielokrotność, która pojawia się na liście dwóch lub więcej danych liczb, nazywana jest najmniejszą wspólną wielokrotnością. Nazywa się to minimum, ponieważ jest to najmniejsza z nich i zawsze dopasuje pierwszą liczbę wspólną dla dwóch lub więcej liczb.
Przykład - Aby określić najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 4 i 8, wypiszmy wielokrotności tych dwóch liczb.
M (4) = {4, 8,12,16, 20, ...} i M (8) = {8, 16, 24,32,40, ...}
Teraz zauważ, że najmniejszą wielokrotnością występującą w obu zestawieniach jest liczba 8. Dlatego MMC (8,4) = 8
zdaj sobie z tego sprawę ta metoda nie jest praktycznagdy liczby są za duże. Wyobraźmy sobie na przykład wyznaczenie MMC między liczbami 2 i 121 przy użyciu tej metody. Musielibyśmy wymienić wielokrotności 2, aż zbliżymy się do 121.
Mając to na uwadze, możemy użyć rozkład na czynniki pierwsze prime, czyli musimy przeprowadzać kolejne podziały wg liczby pierwsze. Zobacz poniższy przykład.
Aby obliczyć MMC (121,2), najpierw rozłożymy liczbę na czynniki pierwsze, a następnie pomnożymy te czynniki. Wynikiem mnożenia będzie MMC.
Zatem MMC (121,2) = 2 ·11 ·11 = 242.
Przykład - Określ MMC (8.4) za pomocą rozkładu na czynniki pierwsze.
Stąd MMC (8,4) = 2 · 2 ·2 = 8, jak pokazano w pierwszej metodzie.
Właściwości MMC
Zobacz właściwości MMC poniżej.
Właściwość 1
Iloczyn największego wspólnego dzielnika z najmniejszą wspólną wielokrotnością dwóch liczb i b jest równy modułowi iloczynu tych liczb.
MDC (a, b) · MMC (a, b) = |a · b|
Przykład - Wiemy, że MDC (8,4) = 4 i MMC (8,4) = 8. W rzeczywistości,
MDC (8,4) · MMC (8,4) = | 8 · 4 |.
Właściwość 2
Wspólne wielokrotności dwóch lub więcej liczb są wielokrotnościami tych liczb w MMC.
Przykład - Widzieliśmy, że M (4) = {4, 8,12,16, 20, ...} i M (8) = {8, 16, 24,32,40, ...} i że MMC (8.4) = 8. Własność ta mówi nam, że wielokrotności 8 i 4 są wielokrotnościami 8, co przypadkowo w tym przypadku jest najmniejszą wspólną wielokrotnością.
Właściwość 3
MMC między dwiema liczbami pierwszymi od siebie jest równa mnożeniu między nimi.
UWAGA: Dwie liczby są względem siebie pierwsze, gdy nie mają wspólnego dzielnika.
Przykład - Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność między 5 a 21.
Ponieważ liczby nie mają wspólnego dzielnika, to znaczy, że są kuzyni dla siebie, najmniejsza wielokrotność między nimi to iloczyn między nimi, stąd MMC (21,5) = 21 · 5 = 105. W rzeczywistości jest to prawda, jak widać z rozkładu na czynniki pierwsze.
MMC (21,5) = 3 ·5 ·7 = 105
Przeczytaj też: Najwyższy wspólny dzielnik: co to jest i do czego służy?
MMC i frakcje
O najmniejsza wspólna wielokrotność służy również do wykonywania operacji dodawanie i odejmowanie ułamków. Dla Dodaj lub odejmować dwa lub więcej ułamki, po prostu najpierw oblicz MMC między mianownikami, a następnie podziel tę MMC przez mianownik i pomnóż wynik przez licznik. Zobacz przykłady.
Przykład – Określ sumę następującego ułamka 4 + 5.
7 3
Najpierw ustalmy MMC (7,3). W tym celu możemy użyć nieruchomość 3, zatem MMC (7,3) = 21.
A zatem, 4 + 5 = 56 :7 = 8.
7 3 21:7 3
Ta sama procedura obowiązuje, gdy mamy odejmowanie ułamków, po prostu zwróć uwagę tylko na znak między ułamkami.
Przeczytaj też: Operacje na ułamkach: dowiedz się, jak to zrobić
Ćwiczenie rozwiązane
Pytanie 1 – (UPE) Rodrigo obserwował migacz na świątecznej ozdobie swojego domu. Składa się z żarówek w kolorze żółtym, niebieskim, zielonym i czerwonym. Rodrigo zauważył, że żółte żarówki zapalają się co 45 sekund, zielone co 60 sekund, niebieskie, co 27 sekund, a czerwone zapalają się tylko wtedy, gdy jednocześnie zapalą się lampki pozostałych kolorów czas. Ile minut świecą czerwone lampki?
) 6
B) 9
do) 12
re) 15
i) 18
Rozwiązanie
Ponieważ lampy zapalają się tylko wtedy, gdy wszystkie są włączone W tym samym czasie, czyli musimy znaleźć wspólny czas aktywacji lamp. Więc po prostu oblicz MMC między 60, 45 i 27.
Stąd MMC (60, 45, 27) = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5 = 540 sekund. Ponieważ ćwiczenie interesuje przedział czasu w minutach, wystarczy podzielić 540 przez 60.
540: 60 = 9 minut.
Alternatywa b.
