W badaniu liczb zespolonych natrafiamy na następującą równość: i2 = – 1.
Uzasadnienie tej równości jest zwykle związane z rozwiązywaniem równań II stopnia z ujemnymi pierwiastkami kwadratowymi, co jest błędem. Pochodzenie wyrażenia i2 = – 1 pojawia się w definicji liczb zespolonych, kolejna kwestia, która również budzi wiele wątpliwości. Zrozummy powód takiej równości i jak ona powstaje.
Najpierw zróbmy kilka definicji.
1. Uporządkowana para liczb rzeczywistych (x, y) nazywana jest liczbą zespoloną.
2. Liczby zespolone (x1tak1) i (x2tak2) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy x1 = x2 i ty1 = y2.
3. Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych definiuje się wzorem:
(x1tak1) + (x2tak2) = (x1 + x2tak1 + y2)
(x1tak1)*(x2tak2) = (x1*x2 - tak1*y2, x1*y2 + y1*x2)
Przykład 1. Rozważ z1 = (3, 4) i z2 = (2, 5), oblicz z1 + Z2 i z1*z2.
Rozwiązanie:
z1 + Z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1*z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Korzystając z trzeciej definicji łatwo wykazać, że:
(x1, 0) + (x2, 0) = (x
(x1, 0)*(x2, 0) = (x1*x2, 0)
Z równości tych wynika, że liczby zespolone (x, y) w operacjach dodawania i mnożenia zachowują się jak liczby rzeczywiste. W tym kontekście możemy ustalić następującą zależność: (x, 0) = x.
Używając tej zależności i symbolu i do reprezentowania liczby zespolonej (0, 1), możemy zapisać dowolną liczbę zespoloną (x, y) w następujący sposób:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → czyli normalne wywołanie liczby zespolonej.
Tak więc liczba zespolona (3, 4) w postaci normalnej staje się 3 + 4i.
Przykład 2. Zapisz następujące liczby zespolone w postaci normalnej.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (– 7, 11) = – 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Teraz zauważ, że nazywamy i liczbą zespoloną (0, 1). Zobaczmy, co się stanie podczas tworzenia i2.
Wiemy, że i = (0, 1) oraz że i2 = i*i. Postępuj zgodnie z tym:
ja2 = i*i = (0, 1)*(0, 1)
Korzystając z definicji 3, otrzymamy:
ja2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 )
Jak widzieliśmy wcześniej, każda liczba zespolona postaci (x, 0) = x. A zatem,
ja2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 ) = – 1.
Dotarliśmy do słynnej równości i2 = – 1.
Autor: Marcelo Rigonatto
Specjalista ds. Statystyki i Modelowania Matematycznego
Brazylijska drużyna szkolna
Liczby zespolone - Matematyka - Brazylia Szkoła
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm