Początek i do kwadratu równy -1

W badaniu liczb zespolonych natrafiamy na następującą równość: i2 = – 1.
Uzasadnienie tej równości jest zwykle związane z rozwiązywaniem równań II stopnia z ujemnymi pierwiastkami kwadratowymi, co jest błędem. Pochodzenie wyrażenia i2 = – 1 pojawia się w definicji liczb zespolonych, kolejna kwestia, która również budzi wiele wątpliwości. Zrozummy powód takiej równości i jak ona powstaje.
Najpierw zróbmy kilka definicji.
1. Uporządkowana para liczb rzeczywistych (x, y) nazywana jest liczbą zespoloną.
2. Liczby zespolone (x1tak1) i (x2tak2) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy x1 = x2 i ty1 = y2.
3. Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych definiuje się wzorem:
(x1tak1) + (x2tak2) = (x1 + x2tak1 + y2)
(x1tak1)*(x2tak2) = (x1*x2 - tak1*y2, x1*y2 + y1*x2)
Przykład 1. Rozważ z1 = (3, 4) i z2 = (2, 5), oblicz z1 + Z2 i z1*z2.
Rozwiązanie:
z1 + Z2 = (3, 4) + (2, 5) = (3+2, 4+5) = (5, 9)
z1*z2 = (3, 4)*(2, 5) = (3*2 – 4*5, 3*5 + 4*2) = (– 14, 23)
Korzystając z trzeciej definicji łatwo wykazać, że:
(x1, 0) + (x2, 0) = (x

1 + x2, 0)
(x1, 0)*(x2, 0) = (x1*x2, 0)
Z równości tych wynika, że ​​liczby zespolone (x, y) w operacjach dodawania i mnożenia zachowują się jak liczby rzeczywiste. W tym kontekście możemy ustalić następującą zależność: (x, 0) = x.
Używając tej zależności i symbolu i do reprezentowania liczby zespolonej (0, 1), możemy zapisać dowolną liczbę zespoloną (x, y) w następujący sposób:
(x, y) = (x, 0) + (0, 1)*(y, 0) = x + iy → czyli normalne wywołanie liczby zespolonej.
Tak więc liczba zespolona (3, 4) w postaci normalnej staje się 3 + 4i.
Przykład 2. Zapisz następujące liczby zespolone w postaci normalnej.
a) (5, - 3) = 5 - 3i
b) (– 7, 11) = – 7 + 11i
c) (2, 0) = 2 + 0i = 2
d) (0, 2) = 0 + 2i = 2i
Teraz zauważ, że nazywamy i liczbą zespoloną (0, 1). Zobaczmy, co się stanie podczas tworzenia i2.
Wiemy, że i = (0, 1) oraz że i2 = i*i. Postępuj zgodnie z tym:
ja2 = i*i = (0, 1)*(0, 1)
Korzystając z definicji 3, otrzymamy:
ja2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 )
Jak widzieliśmy wcześniej, każda liczba zespolona postaci (x, 0) = x. A zatem,
ja2 = i*i = (0, 1)*(0, 1) = (0*0 – 1*1, 0*1 + 1*0) = (0 – 1, 0 + 0) = (– 1, 0 ) = – 1.
Dotarliśmy do słynnej równości i2 = – 1.

Autor: Marcelo Rigonatto
Specjalista ds. Statystyki i Modelowania Matematycznego
Brazylijska drużyna szkolna

Liczby zespolone - Matematyka - Brazylia Szkoła

Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/a-origem-i-ao-quadrado-igual-1.htm

Czym są promienie gamma?

Czym są promienie gamma?

ty gamma (γ) są rodzajem promieniowanie elektromagnetyczny utworzony przez fotony bardzo energicz...

read more
Pięć wierszy Caio Fernando Abreu

Pięć wierszy Caio Fernando Abreu

 Dramaturg, powieściopisarz, kronikarz, autor opowiadań i... poeta. Może nigdy nie słyszałeś o li...

read more
Osmoza w roślinach. Zjawisko osmozy w roślinach i warzywach

Osmoza w roślinach. Zjawisko osmozy w roślinach i warzywach

Osmoza to przechodzenie rozpuszczalnika przez półprzepuszczalne błony. Może wystąpić między roztw...

read more