Faktoring er en prosess som brukes i matematikk som består i å representere et tall eller et uttrykk som et produkt av faktorer.
Ved å skrive et polynom som multiplikasjon av andre polynomer, kan vi ofte forenkle uttrykket.
Sjekk ut typene polynomfaktorisering nedenfor:
Vanlig bevisfaktor
Vi bruker denne typen faktorisering når det er en faktor som gjentar seg selv i alle termer av polynomet.
Denne faktoren, som kan inneholde tall og bokstaver, plasseres foran parentesene.
Inne i parentesene vil være resultatet av å dele hver term i polynomet med den felles faktoren.
I praksis, la oss gjøre følgende trinn:
1º) Identifiser om det er et tall som deler alle koeffisientene til polynomet og bokstavene som gjentas i alle termer.
2º) Sett de vanlige faktorene (antall og bokstaver) foran parentesene (som bevis).
Tredje) Sett i parentes resultatet av å dele hver faktor i polynomet med faktoren som er bevis. Når det gjelder bokstaver, bruker vi regelen om maktfordeling av samme base.
Eksempler
a) Hva er den faktoriserte formen for polynomet 12x + 6y - 9z?
Først identifiserer vi at tallet 3 deler alle koeffisientene og at det ikke er noen bokstav som gjentas.
Vi setter tallet 3 foran parentesene, vi deler alle ordene med tre, og resultatet vil vi sette innenfor parentesene:
12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)
b) Faktor 2a2b + 3a3c - a4.
Siden det ikke er noe tall som deler 2, 3 og 1 samtidig, vil vi ikke sette noe tall foran parentesene.
Brevet De gjentas i alle termer. Den vanlige faktoren vil være De2, som er den minste eksponenten av De i uttrykk.
Vi deler hvert begrep av polynomet med De2:
2. plass2 b: den2 = 2.2 - 2 b = 2b
3.3c: den2 = 3.3 - 2 c = 3ac
De4: a2 = den2
Vi setter De2 foran parentes og resultatene av inndeling i parentes:
2. plass2b + 3a3c - a4 = den2 (2b + 3ac - a2)
gruppering
I polynomet som ikke eksisterer en faktor som gjentar seg i alle termer, kan vi bruke faktoriseringen ved å gruppere.
For dette må vi identifisere begreper som kan grupperes etter vanlige faktorer.
I denne typen faktorisering setter vi de vanlige faktorene for grupperingene som bevis.
Eksempel
Faktor polynomial mx + 3nx + my + 3ny
Vilkårene mx og 3nx har som en felles faktor x. allerede vilkårene min og 3ny har som en felles faktor y.
Sette disse faktorene som bevis:
x (m + 3n) + y (m + 3n)
Merk at (m + 3n) nå også gjentas i begge termer.
Når vi setter det i bevis igjen, finner vi den faktoriserte formen på polynomet:
mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)
Perfect Square Trinomial
Trinomials er polynomer med 3 termer.
De perfekte firkantede trinomialene a2 + 2ab + b2 og2 - 2ab + b2 resultat av det bemerkelsesverdige produktet av typen (a + b)2 og (a - b)2.
Dermed vil faktoriseringen av det perfekte firkantede trinomial være:
De2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (kvadrat av summen av to termer)
De2 - 2ab + b2 = (a - b)2 (kvadrat av forskjellen på to termer)
For å finne ut om et trinomial virkelig er et perfekt kvadrat, gjør vi følgende:
1º) Beregn kvadratroten til ordene som vises i kvadrat.
2) Multipliser verdiene funnet med 2.
3.) Sammenlign verdien som er funnet med begrepet som ikke har firkanter. Hvis de er like, er det et perfekt kvadrat.
Eksempler
a) Faktor polynomet x2 + 6x + 9
Først må vi teste om polynomet er et perfekt kvadrat.
√x2 = x og √9 = 3
Multipliser med 2, finner vi: 2. 3. x = 6x
Siden verdien som er funnet er lik begrepet som ikke er kvadrat, er polynomet perfekt kvadrat.
Dermed vil faktoriseringen være:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
b) Faktor polynomet x2 - 8xy + 9y2
Tester om det er et perfekt kvadratisk trinomial:
√x2 = x og √9y2 = 3 år
Gjør multiplikasjonen: 2. x. 3y = 6xy
Verdien som er funnet samsvarer ikke med termen til polynomet (8xy ≠ 6xy).
Siden det ikke er et perfekt kvadratisk trinomial, kan vi ikke bruke denne typen faktorisering.
Forskjell på to firkanter
Å faktorisere polynomer av type a2 - B2 vi bruker det bemerkelsesverdige produktet av sum og forskjell.
Dermed vil faktoriseringen av polynomer av denne typen være:
De2 - B2 = (a + b). (a - b)
For å faktorere, må vi beregne kvadratroten til de to begrepene.
Skriv deretter produktet av summen av verdiene som er funnet og forskjellen mellom disse verdiene.
Eksempel
Faktor 9x binomialet2 - 25.
Finn først kvadratroten av begrepene:
√9x2 = 3x og √25 = 5
Skriv disse verdiene som et produkt av summen og forskjellen:
9x2 - 25 = (3x + 5). (3x - 5)
perfekt kube
polynomene a3 + 3.2b + 3ab2 + b3 og3 - 3.2b + 3ab2 - B3 resultat av det bemerkelsesverdige produktet av typen (a + b)3 eller (a - b)3.
Dermed er den faktiske formen til den perfekte kuben:
De3 + 3.2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
De3 - 3.2b + 3ab2 - B3 = (a - b)3
For å faktorisere polynomer av denne typen, må vi beregne den kubiske roten til begrepene til kuben.
Etterpå er det nødvendig å bekrefte at polynomet er en perfekt terning.
I så fall kuberer vi summen eller subtraksjonen av verdiene til de kubiske røttene som er funnet.
Eksempler
a) Faktor polynomet x3 + 6x2 + 12x + 8
La oss først beregne den kubiske roten til terningene kubikk:
3√ x3 = x og 3√ 8 = 2
Bekreft deretter om det er en perfekt kube:
3. x2. 2 = 6x2
3. x. 22 = 12x
Siden begrepene som er funnet er de samme som begrepene i polynomet, så er det en perfekt kube.
Dermed vil faktoriseringen være:
x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3
b) Faktor polynom a3 - 9.2 + 27. - 27.
La oss først beregne den kubiske roten til terningene kubikk:
3til3 = a og 3√ - 27 = - 3
Bekreft deretter om det er en perfekt kube:
3. De2. (-3) = - 9.2
3. De. (- 3)2 = 27.
Siden begrepene som er funnet er de samme som begrepene i polynomet, så er det en perfekt kube.
Dermed vil faktoriseringen være:
De3 - 9.2 + 27a - 27 = (a - 3)3
Les også:
- Potensiering
- Polynomer
- Polynomial funksjon
- primtall
Løste øvelser
Faktor følgende polynomer:
a) 33x + 22y - 55z
b) 6nx - 6ny
c) 4x - 8c + mx - 2mc
d) 49 -2
e) 9.2 + 12. + 4
a) 11. (3x + 2y - 5z)
b) 6n. (x - y)
c) (x - 2c). (4 + m)
d) (7 + a). (7 - a)
e) (3. + 2)2
Se også:
- Algebraiske uttrykk
- Øvelser på algebraiske uttrykk
- Bemerkelsesverdige produkter
- Bemerkelsesverdige produkter - Øvelser
