Eulers forhold: toppunkter, flater og kanter

Eulers relasjon er en likhet som relaterer antall toppunkter, kanter og flater i konvekse polyedre. Den sier at antall flater pluss antall toppunkter er lik antall kanter pluss to.

Euler-relasjonen er gitt av:

start stil matematikk størrelse 18px rett F pluss rett V er lik rett A pluss 2 slutten av stilen

Hvor,
F er antall ansikter,
V antall hjørner,
DE antall kanter.

Vi kan bruke Eulers relasjon til å bestemme eller bekrefte ukjente verdier av V, F eller A, når polyederet er konveks.

Polyeder F V DE F+V A + 2
Kube 6 8 12 6 + 8 = 14 12 + 2 = 14
trekantet pyramide 4 4 6 4 + 4 = 8 6 + 2 = 8
Femkantet grunnprisme 7 10 15 7 + 10 = 17 15 + 2 = 17
vanlig oktaeder 8 6 12 8 + 6 = 14 12 + 2 = 14

Eksempel
Et konveks polyeder har 20 flater og 12 hjørner. Bestem antall kanter.

Bruke Eulers relasjon og isolere A:
rett F pluss rett V er lik rett A pluss 2 rett A er lik rett F pluss rett V minus 2

Erstatter verdiene til F og V:
rett A er lik 20 pluss 12 minus 2 rett A er lik 32 minus 2 rett A er lik 30

Ansikter, topper og kanter

Polyedre er solide, tredimensjonale geometriske former uten avrundede sider. Disse sidene er flatene (F) til polyederet.

kube

Møtet mellom ansiktene kaller vi kanter (A).

Kube og dens kanter

Topppunkter er punktene der tre eller flere kanter møtes.

Kube og dens toppunkter.

konvekse polyedre

Konvekse polyedre er geometriske faste stoffer som ikke har konkavitet, derfor er det på ingen av overflatene deres indre vinkler større enn 180º.

instagram story viewer

konveks polyeder
Konveks polyeder: alle innvendige vinkler på flatene mindre enn 180º.
Ikke-konveks polygon.
Ikke-konveks polyeder: har minst én indre vinkel større enn 180°.

I dette polyederet har den indre vinkelen merket med blått mer enn 180º, så det er ikke et konveks polyeder.

Se mer om polyeder.

Øvelser om Eulers forhold

Øvelse 1

Finn antall flater i et polyeder med 9 kanter og 6 hjørner.

Riktig svar: 5 ansikter.

Ved å bruke Eulers relasjon:

F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5

Øvelse 2

Et dodekaeder er et platonisk legeme med 12 ansikter. Når du vet at den har 20 hjørner, bestemmer du antall kanter.

Riktig svar:

Ved å bruke Eulers relasjon:

F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = A

Øvelse 3

Hva heter polyederet med 4 topper og 6 kanter i forhold til antall flater, der flatene er trekanter?

Svar: Tetraeder.

Vi må bestemme antall ansikter.

F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4

Et polyeder som har 4 flater i form av trekanter kalles et tetraeder.

Hvem var Leonhard Paul Euler?

Leonhard Paul Euler (1707-1783) var en av de mest dyktige matematikerne og fysikerne i historien, i tillegg til at han bidro til astronomistudier. Tysktalende sveitser, han var professor i fysikk ved St Petersburg Academy of Sciences og senere ved Berlin Academy. Han har publisert flere studier om matematikk.

Lær også:

  • Geometriske faste stoffer
  • Romlig geometri
  • Geometriske former
  • Prisme - Geometrisk figur
  • Pyramide
  • Brostein
  • Kube
Teachs.ru
Kubevolumberegning: formel og øvelser

Kubevolumberegning: formel og øvelser

O kubevolum tilsvarer rommet som denne romlige geometriske figuren opptar.Husk at kuben er en van...

read more
Prisme volum: formel og øvelser

Prisme volum: formel og øvelser

Prisme volum er beregnet av multiplikasjon mellom basisareal og høyde.Volumet bestemmer kapasitet...

read more
Sins Law: anvendelse, eksempel og øvelser

Sins Law: anvendelse, eksempel og øvelser

DE syndeloven bestemmer at i en hvilken som helst trekant er sinusforholdet til en vinkel alltid ...

read more
instagram viewer