Eulers relasjon er en likhet som relaterer antall toppunkter, kanter og flater i konvekse polyedre. Den sier at antall flater pluss antall toppunkter er lik antall kanter pluss to.
Euler-relasjonen er gitt av:
Hvor,
F er antall ansikter,
V antall hjørner,
DE antall kanter.
Vi kan bruke Eulers relasjon til å bestemme eller bekrefte ukjente verdier av V, F eller A, når polyederet er konveks.
| Polyeder | F | V | DE | F+V | A + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Kube | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| trekantet pyramide | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| Femkantet grunnprisme | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| vanlig oktaeder | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
Eksempel
Et konveks polyeder har 20 flater og 12 hjørner. Bestem antall kanter.
Bruke Eulers relasjon og isolere A:
Erstatter verdiene til F og V:
Ansikter, topper og kanter
Polyedre er solide, tredimensjonale geometriske former uten avrundede sider. Disse sidene er flatene (F) til polyederet.
Møtet mellom ansiktene kaller vi kanter (A).
Topppunkter er punktene der tre eller flere kanter møtes.
konvekse polyedre
Konvekse polyedre er geometriske faste stoffer som ikke har konkavitet, derfor er det på ingen av overflatene deres indre vinkler større enn 180º.
I dette polyederet har den indre vinkelen merket med blått mer enn 180º, så det er ikke et konveks polyeder.
Se mer om polyeder.
Øvelser om Eulers forhold
Øvelse 1
Finn antall flater i et polyeder med 9 kanter og 6 hjørner.
Riktig svar: 5 ansikter.
Ved å bruke Eulers relasjon:
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5
Øvelse 2
Et dodekaeder er et platonisk legeme med 12 ansikter. Når du vet at den har 20 hjørner, bestemmer du antall kanter.
Riktig svar:
Ved å bruke Eulers relasjon:
F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = A
Øvelse 3
Hva heter polyederet med 4 topper og 6 kanter i forhold til antall flater, der flatene er trekanter?
Svar: Tetraeder.
Vi må bestemme antall ansikter.
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4
Et polyeder som har 4 flater i form av trekanter kalles et tetraeder.
Hvem var Leonhard Paul Euler?
Leonhard Paul Euler (1707-1783) var en av de mest dyktige matematikerne og fysikerne i historien, i tillegg til at han bidro til astronomistudier. Tysktalende sveitser, han var professor i fysikk ved St Petersburg Academy of Sciences og senere ved Berlin Academy. Han har publisert flere studier om matematikk.
Lær også:
- Geometriske faste stoffer
- Romlig geometri
- Geometriske former
- Prisme - Geometrisk figur
- Pyramide
- Brostein
- Kube
