Cosine Law: anvendelse, eksempler og øvelser

DE Cosine Law brukes til å beregne mål på den ene siden eller en ukjent vinkel på en hvilken som helst trekant, og vite de andre målene.

Erklæring og formler

Kosinosetningen sier at:

"I en hvilken som helst trekant er firkanten på den ene siden summen av rutene på de andre to sidene, minus to ganger produktet av de to sidene ved cosinus av vinkelen mellom dem.."

I følge cosinusloven har vi således følgende forhold mellom sidene og vinklene til en trekant:

Eksempler

1. To sider av en trekant måler 20 cm og 12 cm og danner en vinkel på 120 ° mellom dem. Beregn målingen på tredje side.

Løsning

For å beregne mål på tredje side vil vi bruke cosinusloven. For dette, la oss vurdere:

b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = - 0,5 (verdi funnet i trigonometriske tabeller).

Erstatte disse verdiene i formelen:

De² = 20² + 12² - 2. 20. 12. (- 0,5)
De² = 400 + 144 + 240
De² = 784
a = √784
a = 28 cm

Så den tredje siden måler 28 cm.

2. Bestem mål på siden AC og mål på vinkelen med toppunktet A fra følgende figur:

La oss først bestemme AC = b:

B² = 8² + 10² – 2. 8. 10. cos 50
B² = 164 – 160. cos 50
B² = 164 – 160. 0,64279
b ≈ 7,82

La oss nå bestemme vinkelmålet etter cosinusloven:

8² = 10² + 7,82² – 2. 10. 7,82. cos
64 = 161.1524 - 156.4 cos Â
cos  = 0,62
 = 52º

Merk: For å finne verdiene til cosinusvinklene bruker vi Trigonometrisk tabell. I den har vi verdiene av vinkler fra 1º til 90 ° for hver trigonometriske funksjon (sinus, cosinus og tangens).

applikasjon

Cosinus lov kan brukes på alle trekanter. Det være seg skarpvinklet (indre vinkler mindre enn 90 °), stumpvinklet (med en indre vinkel større enn 90 °) eller rektangel (med en indre vinkel lik 90 °).

Representasjon av trekanter når det gjelder deres indre vinkler

Hva med de rektangulære trianglene?

La oss anvende cosinusloven på siden motsatt 90 ° vinkelen, som angitt nedenfor:

De² = b² + c² - 2. B. ç. cos 90º

Som cos 90º = 0 blir uttrykket ovenfor:

De² = b² + c²

Som er det samme som uttrykket for Pythagoras teorem. Dermed kan vi si at denne teoremet er et spesielt tilfelle av cosinusloven.

Kosinusloven er egnet for problemer der vi kjenner to sider og vinkelen mellom dem, og vi vil finne den tredje siden.

Vi kan fortsatt bruke den når vi kjenner de tre sidene av trekanten og vil vite en av dens vinkler.

For situasjoner der vi kjenner to vinkler og bare en side og ønsker å bestemme en annen side, er det mer praktisk å bruke syndeloven.

Definisjon av Cosine og Sine

Kosinus og sinus i en vinkel er definert som trigonometriske forhold i en rett trekant. Siden motsatt rett vinkel (90º) kalles hypotenusen og de to andre sidene kalles bena, som vist i figuren nedenfor:

Representasjon av høyre trekant og dens sider: hofter og hypotenuse

Cosine defineres deretter som forholdet mellom måling av tilstøtende ben og hypotenus:

Sinusen er derimot forholdet mellom måling av motsatt ben og hypotenus.

Inngangseksamen Øvelser

1. (UFSCar) Hvis sidene av en trekant måler x, x + 1 og x +2, så for hvilken som helst x ekte og større enn 1, er cosinus til den største indre vinkelen i denne trekanten lik:

a) x / x + 1
b) x / x + 2
c) x + 1 / x + 2
d) x - 2 / 3x
e) x - 3 / 2x

Se Svar

Alternativ e) x - 3 / 2x

2. (UFRS) I trekanten som er representert i figuren nedenfor, har AB og AC samme mål, og høyden i forhold til siden BC er lik 2/3 av målet BC.

Basert på disse dataene er cosinus for vinkel CÂB:

a) 7/25
b) 7/20
c) 4/5
d) 5/7
e) 5/6

Se Svar

Alternativ a) 7/25

3. (UF-Juiz de Fora) To sider av en trekant måler 8 m og 10 m og danner en vinkel på 60 °. Den tredje siden av denne trekanten måler:

a) 2√21 m
b) 2√31 m
c) 2√41 m
d) 2√51 m
e) 2√61 m

Se Svar

Alternativ a) 2√21 m

Les mer om temaet:

• Trigonometri
• Trigonometri i rektangel-trekanten
• Trigonometriøvelser i høyre trekant
• Trigonometriske relasjoner
• Trigonometrisk sirkel
• Trigonometriske funksjoner